Bestimme den Funktionsterm.

Question

Aufgabe:Die Kurve einer Funktion 3.Grades geht durch den Ursprung und hat den Wendepunkt (2¦0). Die Fläche zwischen Kurve und x-Achse im 1. Feld hat 4 FE. Bestimme den Funktionsterm.

Problem/Ansatz: Die Skizze ergibt eine Symmetrie zum Wendepunkt und damit die Nullstelle (4¦0). Komme ich mit der allgemeinen Hauptform f(x)=x^3+bx^2+cx+d weiter? Oder geht das nur mit einer Faktorform?

Answer 1

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Die Bedingungen

f(0)=0
f(2)=0
f''(2)=0
I(0;2)=4 was bedeutet F(2) - F(0) = 4

Daraus ergeben sich die Gleichungen

d = 0
8·a + 4·b + 2·c + d = 0
12·a + 2·b = 0
4·a + 8/3·b + 2·c + 2·d = 4

Daraus ergibt sich die Funktion

f(x) = x^3 - 6·x^2 + 8·x

Comments

Danke, es hat geklappt. Mit dem Steckbriefrechner nochmals alles nachvollzogen.

Guter Tipp!

Answer 2

Aloha :)

Du kennst von der Funktion 3-ten Grades bereits 2 Nullstellen, denn sie geht durch den Ursprung \((0|0)\) und der Wendepunkt liegt in \((2|0)\). Wir wählen daher als Ansatz:$$f(x)=(ax+b)\cdot x\cdot (x-2)=(ax+b)\cdot(x^2-2x)=ax^3+bx^2-2ax^2-2bx$$Wegen des Wendepunktes \((2|0)\) muss \(f''(2)=0\) gelten:$$f'(x)=3ax^2+2bx-4ax-2b$$$$f''(x)=6ax+2b-4a$$$$0=f''(2)=12a+2b-4a=8a+2b\quad\Rightarrow\quad b=-4a$$Damit bleibt nur noch ein Parameter übrig:$$f(x)=ax^3-4ax^2-2ax^2+8ax=a(x^3-6x^2+8x)$$

Als letzten Hinweis haben wir noch die Fläche zwischen der Kurve und der \(x\)-Achse im ersten Quadranten. Dazu benötigen wir die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, von denen wir aber \(x=0\) und \(x=2\) bereits kennen. Wir zerlegen daher:$$f(x)=ax(x-2)(x-4)$$Wir haben also 2 mögliche Flächen zwischen der \(x\)-Achse und dem Graphen, eine im Intervall \([0|2]\), die andere im Intervall \([2|4]\). Welche von den beiden im ersten Qudranten liegt, hängt nun vom Vorzeichen von \(a\) ab. Ist \(a>0\), ist die Fläche über im Intervall \([0|2]\) gemeint, ist \(a<0\), ist die Fläche im Intervall \([2|4]\) gemeint. Es  gibt also 2 Lösungen!

1. Fall: \(a>0\)$$F=\int\limits_0^2f(x)dx=a\int\limits_0^2\left(x^3-6x^2+8x\right)dx=a\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+4x^2\right]_0^2=4a\quad\Rightarrow\quad a=1$$

2. Fall: \(a<0\)$$F=\int\limits_2^4f(x)dx=a\int\limits_2^4\left(x^3-6x^2+8x\right)dx=a\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+4x^2\right]_2^4=-4a\quad\Rightarrow\quad a=-1$$

Es gibt also 2 mögliche Lösungen:$$f(x)=\pm(x^3-6x^2+8x)$$

~plot~ (x^3-6x^2+8x) ; -(x^3-6x^2+8x) ; [[-1|5|-4|5]] ~plot~

Comments

 Ich konnte also gleich f(x)=a(x-0)(x-2)(x-4) =ax(x-2x-4) schreiben.Dann geht es nur um's 1. Feld a>0.

Vielen Dank!

Answer 3

1) f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao  mit P(0/0) → ao=0

2) f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x+a1

3) f´´(x)=0=6*a3*x+2*a2

1) f(2)=0=a3*2³+a2*2²+a1*2  aus W(2/0)

2) f´´(2)=0=6*a3*2+2*a2  aus W(2/0) f´´(2)=0 Wendepunkt  → Schnittstelle mit der x-Achse

3) F(x)=∫(a3*x³+a2*x²+a1*x)*dx

F(x)=1/4*x^4+1/3*x³+1/2*a1*x²+C    mit Integrationsgrenzen xo=2 und xu=0   im I-Quadranten

A=4=(1/4*a3*2^4+1/3*a2*2³+1/2*a1*2) - (1/4*a3*0^4+1/3*a2*0³+1/2*a1*0)

ergibt das LGS

1) 8*a3+4*a2+2*a1=0  aus W(2/0)

2) 12*a3+2*a2+0*a1=0 aus f´´(2)=0

3) 4*a3+8/4*a2+1*a1=4  aus A(x)=(F(2)) - (F(0))

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)  a3=-1 und a2=6 und a1=-8

f(x)=-1*x³+6*x²-8*x    Spiegelung an der x-Achse f(x)=-1*f(x)

f(x)=1*x³-6*x²+8*x

rechne mal durch,wieso a3=-1 und a2=6 und a1=-8  Spiegelung a3=1 und a2=-6 und a1=8

~plot~x^3-6*x^2+8*x;-1*x^3+6*x^2-8*x;[[-2|5|-5|5]];x=2~plot~