Zeigen Sie, dass die Spiegelung sv : ℝn diagonalisierbar ist.

Question

Aufgabe:

Sei v ∈ ℝⁿ mit ∥v∥ = 1. Zeigen Sie, dass die Spiegelung s_v : ℝⁿ → ℝⁿ diagonalisierbar ist. Zeigen sie ferner, dass det(sv) = −1 gilt.

Jemand eine Idee?

Comments

Hallo,

ich nehme an, Spiegelung meint Spiegelung an der Hyperebene, die zu v orthogonal ist.

Du kannst

a) eine Darstellung von sv benutzen (habt Ihr eine hergeleitet) und die Eigenvektoren und Eigenwerte ausrechnen - das geht einfach.

b) von der geometrischen Bedeutung ausgehen: Betrachte Vektoren, die parallel zu Ebene sind (wieviele linear unabhängige gibt es?) und den Vektor v. ...

Gruß

Answer 1

Hallo Liz,

Stelle eine Matrix \(M\) auf, die wie folgt aufgebaut ist:$$M = \begin{pmatrix} v& u_2 \dots u_n \end{pmatrix}, \quad |u_i|=1 \space\land\space u_i \perp v \space \land\space  u_i \perp u_j, \space i \ne j$$mit diesen Voraussetzungen ist \(M\) eine Orthogonalmatrix, für die gilt$$M^{-1} = M ^T$$Sei nun \(S\) die Matrix für die Abbildung der Spiegelung$$S = \underline 1 - 2 vv^T$$dann ist die Diagonalmatrix \(D\)$$\begin{aligned} D &= M^{-1} \cdot S \cdot M \\&= M^T  \cdot (\underline 1 - 2 vv^T) \cdot M \\&= \underbrace{M^T\cdot \underline 1 \cdot M}_{= \underline 1} - 2 \underbrace{M^T v}_{= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}} \underbrace{v^T M}_{= \begin{pmatrix} 1& 0& \dots & 0\end{pmatrix}} \\&= \begin{pmatrix} -1 & 0 & &\dots & 0\\ 0 & 1& 0& \dots& 0\\ 0& 0& \ddots& & 0\\ 0& \dots & & \ddots& 0 \\ 0& \dots & & 0& 1\end{pmatrix} \end{aligned}$$