Steckbriefaufgabe / Gleichung der Funktion bestimmen

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch, hat in W(1/-1,5) einen Wendepunkt und an der Stelle x=-2 eine Tangente mit der Steigung -4. Bestimmen sie die Gleichung der Funktion.

Steckbriefaufgabe bitte mit Lösungsweg lösen.

Answer 1

Ansatz:

Achsensymmetrie → \(f(x)=ax^4+bx^2+c\)

Kurvenpunkt: \(f(x_P)=y_P\)

Wendestelle: \(f''(x_W)=0\)

Tangentensteigung m an der Stelle x: \(f'(x)=m\)

Drei Gleichungen, drei Variablen, Versuch macht klug!   :-)

Answer 2

Hallo,

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch,

$$f(x)=ax^4+bx^2+c\\f'(x)=4ax^3+2bx\\f''(x)=12ax^2+2b$$

hat in W(1/-1,5) einen Wendepunkt

$$f(1)=1,5\rightarrow a + b + c = 0\\f''(1)=0\rightarrow 12a+2b = 0$$

an der Stelle x=-2 eine Tangente mit der Steigung -4

$$f'(-2)=-4\rightarrow -32a-4b=-4$$

Jetzt hast du ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten, das du nur noch auflösen musst.

Gruß, Silvia

Answer 3

Bedingung  Achysymmetrie (symmetrisch zur y-Achse) f(x)=f(-x) und n=gerade

y=f(x)=a4*x^4+a2*x²+ao  alle Exponeten n=gerade

W(1/-1,5)  Tangentensteigung f´(-2)=m=-4

f´(x)=4*a4*x³+2*a2*x

f´´(x)=12*a4*x+2*a2

1) f(1)=-1,5=a4*1^4+a2*1²+ao  aus W(1/-1,5)

2) f´(-2)=-4=4*a4*(-2)³+2*a2*(-2)+0*ao  aus f´(-2)=m=-4

3) f´´(1)=0=12*a4*1²+2*a2+0*ao  aus W(1/-1,5)

dieses lineare Gleichungssystem (LGS) schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit

1) 1*a4+1*a2+1*ao=-1,5

2) -332*a4-4*a2+0*ao=-4

3) 12*a4+2*a2+0*ao=0

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) f(x)=0,5*x^4-3*x³+1

Probe: f(1)=0,5*1^4-3*1²+1=1,5-3=-1,5

ableiten und f´(-2)=m=-4=.... schaffst du selber

~plot~0,5*x^4-3*x^2+1;[[-10|10|-10|10]];x=1;x=-2~plot~

Comments

dieses lineare Gleichungssystem (LGS) schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit

Schiebe keine "Übersichtlichkeit" vor. Du willst das, damit du genau die Form hast, die du ohne weiter nachzudenken ins EQUA-Menü deines Casio-Taschenrechners (den du privat in jedem gut sortierten Elektronikgeschäft kaufen kannst) eingeben kannst.

Answer 4

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch, hat in W\((1|-1,5)\) einen Wendepunkt und an der Stelle \(x=-2\) eine Tangente mit der Steigung  \(m= -4\). Bestimmen sie die Gleichung der Funktion.

Durch die Achsensymmetrie gilt:

\(W_1(1|-\red{1,5})\) →\(W_2(-1|-1,5)\)

Ich verschiebe den Graph um \(\red{1,5}\) Einheiten nach oben

\(W_1´(1|0)\) →\(W_2(-1|0)\)

\(f(x)=a(x-1)(x+1)(x-N)(x+N)\\=a(x^2-1)(x^2-N^2)\\=a(x^4-N^2x^2-x^2+N^2)\)

\(x=-2\) Tangentensteigung \( m= -4\):

\(f´(x)=a(4x^3-2N^2x-2x)\)

\(f´(-2)=a[4\cdot(-2)^3-2N^2\cdot(-2)-2\cdot(-2)]=a\cdot(4N^2-28)=-4\)

\(a=\frac{1}{7-N^2}\)

\(f´(x)=\frac{1}{7-N^2}(4x^3-2N^2x-2x)\)

Wendepunkteigenschaft \(W_1´(1|...)\)

\(f''(x)=\frac{1}{7-N^2}(12x^2-2N^2-2)\)

\(f''(1)=\frac{1}{7-N^2}(12-2N^2-2)=\frac{1}{7-N^2}(10-2N^2)\)

\(\frac{1}{7-N^2}(10-2N^2)=0\)

\(N^2=5\)

\(a=\frac{1}{7-5}=\frac{1}{2}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}(x^4-6x^2+5)\)

Ich verschiebe den Graph um \(\red{1,5}\) Einheiten nach unten:

\(p(x)=\frac{1}{2}(x^4-6x^2+5)-1,5\)