Steckbriefaufgabe: Gleichung der funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Ein Graph einer ganzrationalen Funktion hat den Sattelpunkt (-2|2) und den Tiefpunkt (0|0). Bestimme die Gleichung mit möglichst niedrigen Grad

Problem/Ansatz:

f(-2) =2

f‘(-2)=0

f‘‘ (-2)=0

f(0)=0

Das sind die Bedingungen, wie löst man das mit Additionsverfahren?

Comments

Bevor Du über Additionsverfahren nachdenkst, solltest Du die Gleichungen aufstellen.

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Hab ich :

f(-2) =-8a+4b+d=0

f‘(-2) =12a-4b=0

f‘‘(-2)=-12a-4b=0

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Da stimmt so einiges nicht. Ich würde es mit 4. Grad versuchen.

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Muss man da versuchen ? Oder woher weißt du dass es Grad 4 ist

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Es wird möglichst niedriger Grad verlangt. Also probierst Du der Reihe nach mit linearer, quadratischer, kubischer usw. Funktion. Und steigerst den Grad solange, bis das Gleichungssystem lösbar ist.

Da ich das schon ein paarmal gemacht habe, habe ich ohne trial-and-error gesehen, dass es 4. Grad braucht.

Gast2016 hat Dir weiter unten die richtigen Gleichungen aufgeschrieben.

Answer 1

f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

f(-2) = 2

f '(-2) = 0

f ''(-2) = 0

f(0)= 0

f '(0) = 0

Answer 2

Ein Graph einer ganzrationalen Funktion hat den Sattelpunkt S(-2|2) und den Tiefpunkt T(0|0)   . Bestimme die Gleichung mit möglichst niedrigen Grad.

Ich verschiebe um 2 Einheiten nach unten und mache weiter mit der Nullstellenform der Parabel 4.Grades:

Sattelpunkt S´(-2|0)→dreifache Nullstelle     T(0|0)   T´(0|-2)

\(f(x)=a*(x+2)^3*(x-N)\)

\(f(0)=a*(0+2)^3*(0-N)=-8a*N\)

\(-8a*N=-2\)    →   \(a=\frac{1}{4N}\)

\(f(x)=\frac{1}{4N}*[(x+2)^3*(x-N)]\)

\(f´(x)=\frac{1}{4N}*[3*(x+2)^2*(x-N)+(x+2)^3]\)

\(f´(0)=\frac{1}{4N}*[3*(0+2)^2*(0-N)+(0+2)^3]\)

\(f´(0)=\frac{1}{4N}*[-12N+8]\)

\(f´(0)=0\)

\(\frac{1}{4N}*[-12N+8]=0→N=\frac{2}{3}\)     \(a=\frac{1}{4*\frac{2}{3}}=\frac{3}{8}\)

\(f(x)=\frac{3}{8}*(x+2)^3*(x-\frac{2}{3})\)

Nun 2 Einheiten nach oben:

\(p(x)=\frac{3}{8}*(x+2)^3*(x-\frac{2}{3})+2\)