Aloha :)
$$\left.\frac{3}{8}u^2-\frac{3}{2}u+\left(-\frac{u}{4}+1\right)e^{-\frac{u}{4}+1}=0\quad\right|\;\cdot8$$$$\left.3u^2-12u+\left(-2u+8\right)e^{-\frac{u}{4}+1}=0\quad\right|\;(u-4)\text{ ausklammern}$$$$\left.3u(u-4)-2\left(u-4\right)e^{-\frac{u}{4}+1}=0\quad\right|\;(u-4)\text{ faktorieren}$$$$\left.(u-4)\cdot\left(3u-2e^{-\frac{u}{4}+1}\right)=0\quad\right.$$Nach dem Satz vom Nullprodukt reicht es, wenn ein Faktor \(=0\) wird, damit das Produkt \(=0\) ist. Wir sehen daher eine Nullstelle bei \(u_1=4\). Der zweite Faktor wird \(=0\), falls:$$\left.3u-2e^{-\frac{u}{4}+1}=0\quad\right|\;-3u$$$$\left.-2e^{-\frac{u}{4}+1}=-3u\quad\right|\;:(-3)$$$$\left.\frac{2}{3}e^{-\frac{u}{4}+1}=u\quad\right.$$Diese Gleichung lässt sich algebraisch nicht lösen. Wir benötigen daher ein numerisches Verfahren. Die Gleichung hat die Form:$$f(u)=u\quad\text{mit}\quad f(u):=\frac{2}{3}e^{-\frac{u}{4}+1}$$Die Idee ist nun, dass wir von einem Startwert ausgehen, etwa \(u=1\), und den Funktionswert \(f(u)\) als besseren Wert für die Lösung betrachten. Das führt uns zu folgender Lösung:$$\begin{array}{l}n & u_n & f(u_n)\\\hline 1 & 1 & 1,41133334\\ 2 & 1,41133334 & 1,27341409\\3 & 1,27341409 & 1,31808690\\4 & 1,31808690 & 1,30344814\\5 & 1,30344814 & 1,30822709\\6 & 1,30822709 & 1,30666504\\ 7 & 1,30666504 & 1,30717541 \\8 & 1,30717541 & 1,30700863\\9 & 1,30700863 & 1,30706313\\10 & 1,30706313 & 1,30704532\end{array}$$Die zweite Nullstelle ist also etwa bei \(u_2\approx1,30705\).
~plot~ 3/8*x^2-3/2*x+(-x/4+1)exp(-x/4+1) ; {1,30705|0} ; {4|0} ;[[-1|7|-1|5]] ~plot~
