Hallo,
es sei f eine solche Funktion. Wenn es die Identität ist, sind wir fertig. Sonst wählen wir einen Punkt a∈R mit f(a)>a (anderer Fall analog). Dann setzen wir b : =f(a) und wissen:
f(b)=f(f(a))=a<f(a)=b
Jetzt wenden wir den Zwischenwertsatz auf die Funktion
h : [a,b]→R,h(x) : =f(x)−x
an un erhalten den gewünschten Fixpunkt.
Gruß