Beweis bzgl. Stetigkeit und Fixpunkt

Question

Aufgabe:

Sei f: ℝ → ℝ stetig mit f ° f = Id_ℝ. Zeigen Sie:

1. f hat einen Fixpunkt

2. Wenn f monoton wachsend ist, dann gilt f = Id_ℝ

Problem/Ansatz:

Irgendwie wirkt diese Aufgabe auf mich extrem trivial, die vorgegebene Verknüpfung f ° f = Id_ℝ sagt doch schon aus, dass f Fixpunkte besitzt, da doch immer die Identität von x abgebildet wird oder verstehe ich da etwas falsch?

Comments

Es ist ja f o f = id.

Wenn das mit der Stetigkeit auf R nicht wäre, könnte

z.B   f(x) = 1/x sein; denn f(f(x)) )  =  f( 1/x) = 1 / ( 1 / x) = x

Das hat ja sogar einen Fixpunkt bei x=1.

Answer 1

Hallo,

es sei f eine solche Funktion. Wenn es die Identität ist, sind wir fertig. Sonst wählen wir einen Punkt \(a \in \mathbb{R}\) mit \(f(a)>a\) (anderer Fall analog). Dann setzen wir \(b:=f(a)\) und wissen:

$$f(b)=f(f(a))=a<f(a)=b$$

Jetzt wenden wir den Zwischenwertsatz auf die Funktion

$$h:[a,b] \to \mathbb{R}, h(x):=f(x)-x$$

an un erhalten den gewünschten Fixpunkt.

Gruß