Basiswechselmatrizen und Standardbasis

Question

Aufgabe:

Es sei die reelle Matrix C = \( \begin{pmatrix} 1& 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)  gegeben. Es bilden die Vektoren b₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \)und b₂ = \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \) eines Basis des ℝ²

a) Gib die Basiswechselmatrizen von der Standardbasis zur Basis b und umgekehrt an.

b) Gib die Darstellungsmatrix von f_c bezüglich der Standardbasis und der Basis b an.

Problem/Ansatz:

a) \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x₁₁ & x₁₂ \\ x₂₁ & x₂₂ \end{pmatrix} \)

=> \( \begin{pmatrix} x₁₁ & x₁₂ \\ x₂₁ & x₂₂ \end{pmatrix} \) = Die Inverse von \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)  mit der Standardbasis \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) multipliziert, d.h.

\( \begin{pmatrix} x₁₁ & x₁₂ \\ x₂₁ & x₂₂ \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)

b) Die Darstellungsmatrix von fc bezüglich der Basis b wäre das Inverse von \( \begin{pmatrix} 1& 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) multipliziert mit der Basiswechselmatrix, die man aus a gewonnen hat = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \) . Oder soll man einfach die Basis b nehmen?

Mit der Basiswechselmatrix kommt man auf

\( \begin{pmatrix} -2& 1 \\ 1,5 & -0,5 \end{pmatrix} \) * \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)

= \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 3,5 & -2 \end{pmatrix} \)

So, richtig oder sollte man doch die Inverse von C doch mit der normalen Basis multiplizieren?

Mit freundlichem Abstand,

Marceline, The Vampire Queen

Answer 1

Aloha :)

a) Die Koordinaten der beiden Basisvektoren \(\vec b_1=\binom{1}{1}\) und \(\vec b_2=\binom{1}{2}\) sind bezüglich der Standardbasis \(E\) angegeben. Daher ist die Basiswechselmatrix von \(B\) zu \(E\):$${_E}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & 2\end{array}\right)$$In die umgekehrte Richtung, von \(E\) zu \(B\) geht es mit der Inversen:$${_B}\mathbf{id}_E=\left({_E}\mathbf{id}_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & 2\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{r}2 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)$$

b) Hier ist mir die Aufgabenstellung nicht ganz klar. Die Abbildungsmatrix \(\mathbf C\), so wie sie gegeben ist, erwartet Input bezüglich der Basis \(E\) und liefert Output bzgl. der Basis \(E\), das heißt:$${_E}\mathbf C_{E}=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)$$Was soll jetzt mit der Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis \(E\) und Basis \(B\) gemeint sein? Dafür gibt es 3 mögliche Interpretationen.

1. Fall: Input bezüglich \(B\), Output bezüglich \(E\):$${_E}\mathbf C_{B}={_E}\mathbf C_{E}\cdot{_E}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}3 & 7\\5 & 11\end{array}\right)$$2. Fall: Input bezüglich \(E\), Output bezüglich \(B\):$${_B}\mathbf C_{E}={_B}\mathbf{id}_E\cdot{_E}\mathbf C_{E}=\left(\begin{array}{r}2 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-1 & 0\\2 & 2\end{array}\right)$$3. Fall: Input bezüglich \(B\), Output bezüglich \(B\):$${_B}\mathbf C_{B}={_B}\mathbf{id}_E\cdot{_E}\mathbf C_{E}\cdot{_E}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{r}2 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-1 & -1\\4 & 6\end{array}\right)$$

Comments

Danke für die Antwort, Tschakakumba.

Die Aufgabe lautete so im Wortlaut ,,Gib die Darstellungsmatrix von f_c bezüglich der Standardbasis und der Basis B an." Ich versteh es jetzt so, dass man einmal die Darstellungsmatrix von fc bzgl. E und einmal von B angeben muss. Also 2 verschiedene Lösungen, or?

Noch eine Frage: Warum multiplizierst du die Matrizen miteinander und bildest nicht die Inverse? Bei der Darstellungsmatrix muss man doch die Inverse bilden, wie du vorgestern dankenswerterweise gezeigt hast?

https://www.mathelounge.de/732213/darstellungsmatrix-ohne-einheitsmatrix-bestimmbar

Ich hab gerad ein metamorphorisches Brett vorm Kopf

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Vorgestern hatten wir die Ausgangsvektoren und die Ergebnisvektoren der Abbildung gegeben und mussten daraus die Abbildungsmatrix bestimmen. Das war eine andere Aufgabenstellung als hier.

Heute haben wir die Abbildungsmatrix gegeben und müssen dafür sorgen, dass die Eingangsvektoren und die Ergebnisvektoren bezüglich der richtigen Basis angegeben sind.

Die Matrix \({_E}\mathbf C_E\) erwartet rechts Eingangsvektoren mit Koordinaten bzgl. der Basis \(E\) und liefert links Ausgangsvektoren mit Koordinaten bzgl. der Basis \(E\). Wenn jetzt rechts aber Eingangsvektoren mit Koordinaten bzgl. der Basis \(B\) reinkommen, können wir die nicht einfach mit der Matrix \({_E}\mathbf C_E\) multiplizieren. Stattdessen müssen die \(B\)-Eingangsvektoren erst in \(E\)-Eingangsvektoren umgerechnet werden. Das geht mit der Transformationsmatrix, die in Teil a) bestimmt werden sollte:$${_E}\mathbf C_B={_E}\mathbf C_E\cdot{_E}\mathbf{id}_B$$Dieses "Gebilde" nimmt nun rechts einen \(B\)-Eingangsvektor entgegen, wandelt ihn in einen \(E\)-Eingangsvektor um, führt die Abbildungsvorschrift \(C\) aus und liefert einen \(E\)-Ergebnisvektor.

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Danke für den Input.

Wenn ich dich richtig verstehe, wird also der B-Eingangsvektor als input genommen und in einen E-Vektor (Standardbasis) umgewandelt. Deien Formel

_EC_B = _EC_E * _Eid_B

würde ja jetzt für Fall 1 sprechen.

Da die B-vektoren aber in E-Vektoren umgerechnet werden müssen, braucht man doch die Basiswechselmatrix. Also doch Fall 2 oder Fall 3?

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Genau das wurde mir bei der Aufgabenstellung auch nicht klar, deswegen habe ich alle möglichen Fälle angegeben. Meistens ist gemeint, dass man die Abbildungsmatrix vollständig für die andere Basis angeben soll. Das wäre Fall 3.

Die Abbildungsmatrix \(\mathrm C\) von oben erwartet \(E\)-Eingangsvektoren und liefert \(E\)-Ausgangsvektoren. Wenn du also rechts \(B\)-Eingangsvektoren haben willst, musst du sie vor Eintritt in die Matrix in \(E\)-Vektoren umrechnen. Die Matrix liefert dann \(E\)-Ausgangsvektoren. Die kannst du jetzt wieder in \(B\)-Vektoren umrechnen. Dieses Prinzip ist wichtig.