Das Komplement von \(\mathbb{R}^n\) ist doch die leere Menge, diese ist offen. Da das Komplement offen ist, ist \(\mathbb{R}^n\) abgeschlossen. Da allgemein \(X\) (beliebige Menge) und \(\emptyset\) beide offen sind (folgt unmittelbar aus der Definition) und weil \(X^C=\emptyset\) bzw. \(\emptyset ^C=X\) gilt, sind beide auch abgeschlossen. Derartige Mengen nennt man auch clopen sets (closed and open)
Das vierte Randaxiom sagt uns, dass \(\partial \emptyset = \emptyset\) ist. https://de.wikipedia.org/wiki/Rand_(Topologie)#Randaxiome
\(\mathbb{R}\) ist offen. Dass \(\mathbb{R}\) abgeschlossen ist, folgt aus der Folgenabgeschlossenheitsdefinition oder kennst du eine reelle Zahlenfolge, die gegen eine Zahl der Form \(a+ib\) konvergiert (mit \(b\neq 0\) natürlich)? Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann offen und abgeschlossen, wenn ihr Rand leer ist. Es ist \(\partial \mathbb{R}=\emptyset\).
