Antwort mit KI erzeugt
Einleitung:
Um diese Aufgabe mit je zehn 5-und 6-seitigen Würfeln und die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit zu lösen, müssen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden unterschiedlichen Würfeltypen untersuchen.
Rechnung:
1.
Normale 6-seitige Würfel:
- Ein 6-seitiger Würfel hat die Zahlen 1 bis 6.
- Der Erwartungswert \( \mu \) eines einzelnen Würfels ist:
\(
\mu = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3,5
\)
- Die Varianz \( \sigma^2 \) eines einzelnen Würfels ist:
\(
\sigma^2 = \frac{(1-3,5)^2 + (2-3,5)^2 + (3-3,5)^2 + (4-3,5)^2 + (5-3,5)^2 + (6-3,5)^2}{6} = \frac{35}{12} = 2,9167
\)
- Für 10 Würfel beträgt der Erwartungswert:
\(
E_{10W6} = 10 \cdot 3,5 = 35
\)
- Die Varianz für 10 Würfel:
\(
\sigma^2_{10W6} = 10 \cdot 2,9167 = 29,167
\)
- Standardabweichung:
\(
\sigma_{10W6} = \sqrt{29,167} \approx 5,4
\)
2.
Besondere 5-seitige Würfel:
- Ein 5-seitiger Würfel hat die Zahlen 2 bis 6.
- Der Erwartungswert \( \mu \) eines einzelnen Würfels ist:
\(
\mu = \frac{2+3+4+5+6}{5} = \frac{20}{5} = 4
\)
- Die Varianz \( \sigma^2 \) eines einzelnen Würfels ist:
\(
\sigma^2 = \frac{(2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (6-4)^2}{5} = \frac{10}{5} = 2
\)
- Für 10 Würfel beträgt der Erwartungswert:
\(
E_{10W5} = 10 \cdot 4 = 40
\)
- Die Varianz für 10 Würfel:
\(
\sigma^2_{10W5} = 10 \cdot 2 = 20
\)
- Standardabweichung:
\(
\sigma_{10W5} = \sqrt{20} \approx 4,47
\)
Normalapproximation:
Da beide Würfelmengen viele Würfe enthalten, können wir die Summe der Würfe aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes normalverteilt betrachten.
- Normale Würfel (6-seitig): \( N(35, 5,4^2) \)
- Besondere Würfel (5-seitig): \( N(40, 4,47^2) \)
Gewinnwahrscheinlichkeit:
Gesucht ist \( P(S_{10W5} > S_{10W6}) \).
1. Die Differenz \( D \) zwischen beiden Normalverteilungen:
\(
D = S_{10W5} - S_{10W6}
\)
- Erwartungswert:
\(
E(D) = E_{10W5} - E_{10W6} = 40 - 35 = 5
\)
- Varianz:
\(
\sigma^2_D = \sigma^2_{10W5} + \sigma^2_{10W6} = 20 + 29,167 = 49,167
\)
- Standardabweichung:
\(
\sigma_D = \sqrt{49,167} \approx 7
\)
2. Normalisieren der Differenz:
\(
Z = \frac{D - E(D)}{\sigma_D} = \frac{0 - 5}{7} \approx -0,714
\)
3. Wahrscheinlichkeit bestimmen:
\(
P(Z > -0,714) = 1 - P(Z \leq -0,714)
\)
- Der Wert für \( P(Z \leq -0,714) \) aus der Standardnormalverteilungstabelle:
\(
P(Z \leq -0,714) \approx 0,237
\)
- Somit ist:
\(
P(Z > -0,714) = 1 - 0,237 = 0,763
\)
Ergebnis:
Die Wahrscheinlichkeit, dass du mit den besonderen 5-seitigen Würfeln die höhere Augensumme erzielst, beträgt etwa \( 76,3\% \).
