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Ich würfele mit 10 normalen Würfeln und addiere die Augenzahlen. Du würfelst mit 10 besonderen Würfeln (5 Felder, Augenzahlen 2-6) und addierst die Augenzahlen. Die höhere Augenzahl gewinnt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?

Eine ähnliche Frage ist hier (https://www.mathelounge.de/59094/wurfelwahrscheinlichkeitsspiel?show=59114#a59114) schonmal beantwortet worden. Ich weiß aber nicht wie ich die möglichen Augensummen bestimmten kann ohne eine überdimensionalgroße Tabelle zeichnen zu müssen...
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Die Tabellen mit den Augensummen sind in der zweiten Antwort(gorgar) zu sehen. Weiter unten im Kommentar steht die Abzählung der Möglichkeiten für einen Gewinn. MFG
Summe der Augenzahlen bei 10 und 2 Würfeln ergibt nicht dieselbe Tabelle.

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Antwort mit KI erzeugt

Einleitung:
Um diese Aufgabe mit je zehn 5-und 6-seitigen Würfeln und die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit zu lösen, müssen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden unterschiedlichen Würfeltypen untersuchen.

Rechnung:

1. Normale 6-seitige Würfel:
- Ein 6-seitiger Würfel hat die Zahlen 1 bis 6.
- Der Erwartungswert \( \mu \) eines einzelnen Würfels ist:
\( \mu = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3,5 \)
- Die Varianz \( \sigma^2 \) eines einzelnen Würfels ist:
\( \sigma^2 = \frac{(1-3,5)^2 + (2-3,5)^2 + (3-3,5)^2 + (4-3,5)^2 + (5-3,5)^2 + (6-3,5)^2}{6} = \frac{35}{12} = 2,9167 \)
- Für 10 Würfel beträgt der Erwartungswert:
\( E_{10W6} = 10 \cdot 3,5 = 35 \)
- Die Varianz für 10 Würfel:
\( \sigma^2_{10W6} = 10 \cdot 2,9167 = 29,167 \)
- Standardabweichung:
\( \sigma_{10W6} = \sqrt{29,167} \approx 5,4 \)

2. Besondere 5-seitige Würfel:
- Ein 5-seitiger Würfel hat die Zahlen 2 bis 6.
- Der Erwartungswert \( \mu \) eines einzelnen Würfels ist:
\( \mu = \frac{2+3+4+5+6}{5} = \frac{20}{5} = 4 \)
- Die Varianz \( \sigma^2 \) eines einzelnen Würfels ist:
\( \sigma^2 = \frac{(2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (6-4)^2}{5} = \frac{10}{5} = 2 \)
- Für 10 Würfel beträgt der Erwartungswert:
\( E_{10W5} = 10 \cdot 4 = 40 \)
- Die Varianz für 10 Würfel:
\( \sigma^2_{10W5} = 10 \cdot 2 = 20 \)
- Standardabweichung:
\( \sigma_{10W5} = \sqrt{20} \approx 4,47 \)

Normalapproximation:

Da beide Würfelmengen viele Würfe enthalten, können wir die Summe der Würfe aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes normalverteilt betrachten.

- Normale Würfel (6-seitig): \( N(35, 5,4^2) \)
- Besondere Würfel (5-seitig): \( N(40, 4,47^2) \)

Gewinnwahrscheinlichkeit:

Gesucht ist \( P(S_{10W5} > S_{10W6}) \).

1. Die Differenz \( D \) zwischen beiden Normalverteilungen:
\( D = S_{10W5} - S_{10W6} \)
- Erwartungswert:
\( E(D) = E_{10W5} - E_{10W6} = 40 - 35 = 5 \)
- Varianz:
\( \sigma^2_D = \sigma^2_{10W5} + \sigma^2_{10W6} = 20 + 29,167 = 49,167 \)
- Standardabweichung:
\( \sigma_D = \sqrt{49,167} \approx 7 \)

2. Normalisieren der Differenz:
\( Z = \frac{D - E(D)}{\sigma_D} = \frac{0 - 5}{7} \approx -0,714 \)

3. Wahrscheinlichkeit bestimmen:
\( P(Z > -0,714) = 1 - P(Z \leq -0,714) \)
- Der Wert für \( P(Z \leq -0,714) \) aus der Standardnormalverteilungstabelle:
\( P(Z \leq -0,714) \approx 0,237 \)
- Somit ist:
\( P(Z > -0,714) = 1 - 0,237 = 0,763 \)

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass du mit den besonderen 5-seitigen Würfeln die höhere Augensumme erzielst, beträgt etwa \( 76,3\% \).
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