Bestimmen Sie die Dimension aller Eigenräume von A und Diagonalmatrix

Question

Aufgabe:

A:= \( \begin{pmatrix}  17 & 9 & 26 & 2 & -3  \\ -5 & -1 & -8 & 0 & 1  \\  -5 & -3 & -7 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & 10 & 4 & -1  \\ 15 & 9 & 26 & 2 & -1 \end{pmatrix} \)

B:=  \( \begin{pmatrix}  9 & 4 & 12 & 1 & -1  \\ -19 & -9 & -28 & -1 & 6  \\  5 & 3 & 9 & 0 & -2 \\ -5 & -3 & -6 & 3 & 2 \\ 13 & 8 & 24 & 2 & 0  \end{pmatrix} \)

Beide haben das charakteristische Polynom (X − 3)²· (X − 2)³ (ohne Beweis).
Problem/Ansatz:

(a) Bestimmen Sie die Dimension aller Eigenräume von A mit einer kleinschrittigen und gut kommentieren Rechnung.
(b) Gibt es U ∈ GL₅(R) so, dass U^⁻¹AU eine Diagonalmatrix ist?
Wenn ja, geben Sie ein geeignetes U explizit an.
(c) Lösen Sie (a) nochmals mit B statt A.
(d) Lösen Sie (b) nochmals mit B statt A.

Answer 1

Die Eigenwerte sind ja dann 2 und 3.

Zum Eigenwert 2 bestimmst du die Dim des Eigenraumes durch

Lösung des hom. lin. Gleichungssystem

    A - 2*E = 0 .

Nach Anwendung des Gauss-Algorithmus erhalte ich 3 Zeilen mit

lauter Nullen, also ist die Dim. des Lösungsraumes 3.

Bei  A - 3*E = 0  erhalte ich 2 Nullzeilen, also dim=2.

Somit gibt es eine Basis von Eigenvektoren und damit auch das

gesuchte U.   Dazu brauchen wir Basen der Lösungsräume.

Zum Eigenwert 2 habe ich Lösungen der Art

-0,6r + 1,6s + 0,2t
            r
           -s
           s
           t

also hätte man als Basisvektoren z.B.

-0,6    und     1,6    und     0,2
   1                  0                   0
   0                 -1                   0
   0                  1                   0
   0                  0                   1

und zu der 3 entsprechend

   1            und             0
 -0,5                           0,5
-0,25                        -0,25
   0                               1
   1                                0

Diese 5 Vektoren bilden also die Spalten von U.

Und U^-1 * A * U ist die gewünschte Diagonalmatrix.

Comments

Vielen lieben Dank für deine Hilfe. Kannst du das noch für Matrix B machen zur Kontrolle? Vielen Dank.

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Bei B bekomme ich für den Eigenraum zur 2 nur dim=1

und bei dem anderen dim=2.

Also gibt es keine Basis mit Eigenvektoren und damit auch kein U.um eine Diagonalmatrix daraus zu machen.

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Vielen Dank!!

Ich hab eine Frage, wie kommst du auf

"Dazu brauchen wir Basen der Lösungsräume.

Zum Eigenwert 2 habe ich Lösungen der Art"

-0,6r + 1,6s + 0,2t
            r
          -s
          s
          t

Wie kommst du darauf?

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Sorry, hat sich geklärt. Danke für deine Hilfe!

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Ich hab alles nachgerechnet und komme auf die selben Ergebnisse wie du :)

Kannst du mir nur noch kurz und knapp erklären warum es bei B keine Basis mit Eigenvektoren gibt und damit auch kein U, um eine Diagonalmatrix daraus zu machen?

Also nur einen erklärenden Satz um es genau zu verstehen.

Das wär lieb, viele Grüße!

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Für eine Basis aus Eigenvektoren brauchst du ja 5 Stück.

Du bekommst bei dim = 1 aber nur einen linear unabhängigen

und bei dim = 2 nur 2, also zusammen 3.

Das kann keine Basis sein.

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Nun ist endgültig alles geklärt, vielen vielen Dank!