Lage der Geraden mit Hilfe eines Normalenvektors

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g:x = (2 3 -8) + t* (1 1 0) und der Ebene E:x = (2 3 -8) + r* (2 2 1) + s* (-1 5 7) mithilfe eines Normalenvektors der Ebene E.

Problem/Ansatz: Ich benötige einen Schritt für Schritt Rechenweg wie man diese Aufgabe löst damit ich das persönlich im Nachgang nachvollziehen kann.

Answer 1

Den Normalenvektor kriegst du ja aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren. Also:$$\vec{n}=\begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1\\5\\7 \end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} 3\\-5\\4 \end{pmatrix}$$ Da \(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 3\\-5\\4 \end{pmatrix}=-2\) kannst du davon ausgehen, dass sich die Gerade und die Ebene in genau einem Punkt schneiden. Interessant wäre nur der Fall, wenn das Skalarprodukt gleich 0 wäre. Dann ist die Gerade entweder vollständig in der Ebene enthalten oder gar nicht; in jedem Fall aber parallel.