Menge abgeschloßen, dann nicht offen?

Question

Kann man sagen jede Menge, die abgeschlosse ist, ist nicht offen, außer R^n und die leere Menge?

Answer 1

Hallo,

ja, im \(\mathbb{R}^n\) ist das richtig. Es gibt dort keine Menge, die abgeschlossen und offen ist, außer eben \(\mathbb{R}^n\) und die leere Menge,

Gruß

Comments

Was soll bedeuten: Die leere Menge ist nicht abgeschlossen

Was soll man sich darunter vorstellen?

Wie kann man sich das veranschaulichen?

Analog wie bei R^n?

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Was soll bedeuten: Die leere Menge ist nicht abgeschlossen 

Die leere Menge ist doch abgeschlossen oder nicht?

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Die leere Menge ist doch abgeschlossen oder nicht?

Abgeschlossen und offen.

Answer 2

Kann man sagen jede Menge, die abgeschlosse ist, ist nicht offen, außer Rⁿ und die leere Menge?

Offenheit ist nicht die Negation von Abgeschlossenheit und vice versa. Die Begriffe hängen über die Komplementbildung miteinander zusammen (und nicht etwa wie "wahr" oder "falsch"). Eine Teilmenge des \(\mathbb{R}^n\) kann weder offen noch abgeschlossen sein. Dafür betrachtet man z. B. einfach \((0,1]\subset \mathbb{R}\). Nochmal: Wir haben kein Prinzip des zwischen zwei kontradiktorischen Gegensätzen stehenden ausgeschlossenen Mittleren.

Dass im \(\mathbb{R}^n\) der \(\mathbb{R}^n\) selbst und die leere Menge \(\emptyset\) die einzigen Mengen, die offen und abgeschlossen zugleich sind, ist richtig. Das Komplement vom \(\mathbb{R}^n\) ist die leere Menge und das Komplement der leeren Menge der \(\mathbb{R}^n\). Da diese beiden offen sind, aber auch jeweils deren Komplement offen ist, sind sie abgeschlossen und offen.

Answer 3

Die Mengen in einem Raum \(X\), die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, sind \(\emptyset\) und Mengen, die aus ganzen Zusammenhangskomponenten bestehen. Also z.B. wenn dein Raum aus drei reellen Geraden besteht (\(X=\mathbb{R}\amalg\mathbb{R}\amalg\mathbb{R}\)), sind die Mengen, die sowohl offen, als auch abgeschlossen sind: \(\emptyset\), jeweils eine der drei Geraden, jede Kombination aus zwei Geraden und ganz \(X\), also gibt es insgesamt \(8\) solche Mengen.

Zu deinem Beispiel: \(\mathbb{R}^n\) ist zusammenhängend, besitzt also nur eine Zusammenhangskomponente. Dementsprechend sind die einzigen gleichzeitig offenen und abgschlossenen Mengen \(\emptyset\) und \(\mathbb{R}^n\).