Die Vektoren a, b, c sind linear unabhängig. Sind: x = 3a + 2b, y = b + c, z = -a + b + 2c linear unabhängig?

Question

Die Vektoren a, b, c sind linear unabhängig. Prüfen Sie, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind: x = 3a + 2b, y = b + c, z = -a + b + 2c.

das ist kein duplikat danke.

Answer 1

x = 3a + 2b, y = b + c, z = -a + b + 2c

Ansatz:
mx + ky + nz = 0

m(3a + 2b) + k(b+c) + n(-a + b + 2c) = 0

(3m -n)a + (2m + k+n)b +(k +2n)c = 0      da a,b,c lin. unah. ==>
3m - n = 0      → m = 1/3 n

2m + k + n = 0

k + 2n = 0  → k = -2n

2/3 n - 2n + n=0

-1/3 n = 0 =====> n=0

==> m=0

==> k =0

Daher sind x,y und z lin unabh.

Answer 2

x und y befinden sich in einer Ebene die von a und b aufgespannt werden. Da c linear unabhängig zu a und b ist befindet sich c nicht in der Ebene von a und b.

Dadurch befindet sich z auch nicht in der Ebene von a und b und ist damit linear unabhängig.

Also sind alle drei Vektoren linear unabhängig.

Comments

Warum ist y in einer Ebene, die von a und b aufgespannt wird? In der Aufgabe heißt es doch y = b+c, da kommt kein a vor.