Gleichung nach Null auflösen: (x-3)^2 * (x-2)^3 = x^5 - 12x^4 + 57x^3 - 134x^2 + 156 x - 72

Question

Kann mir jemand bitte diese Gleichung nach Null auflösen?

\( (x-3)^{2} \cdot(x-2)^{3}=x^{5}-12 x^{4}+57 x^{3}-134 x^{2}+156 x-72 \)

(x-3)^2 * (x-2)^3 = x^5 - 12x^4 + 57x^3 - 134x^2 + 156 x - 72

Answer 1

Sorry. Ich hatte einen Fehler drin, den ich jetzt verbessert habe.

(x - 3)^2·(x - 2)^3 = x^5 - 12·x^4 + 57·x^3 - 134·x^2 + 156·x - 72

Man könnte auf der rechten Seite mal 2 und 3 einsetzen und schauen ob auf der rechten Seite Null heraus kommt. Das tut es und daher kann man hier (x - 3) und (x - 2) über die Polynomdivision oder das Horner Schema ausklammern

(x^5 - 12·x^4 + 57·x^3 - 134·x^2 + 156·x - 72) / (x - 2) = x^4 - 10·x^3 + 37·x^2 - 60·x + 36

(x^4 - 10·x^3 + 37·x^2 - 60·x + 36) / (x - 3) = x^3 - 7·x^2 + 16·x - 12

Jetzt kann man mit vielen Taschenrechnern auch Nullstellen von dem kubischen Term suchen lassen Auch hier ist nochmals 2 und 3 eine Nullstelle warum ich die wieder ausklammern kann

(x^3 - 7·x^2 + 16·x - 12) / (x - 2) = x^2 - 5·x + 6

(x^2 - 5·x + 6) / (x - 3) = x - 2

Ok jetzt kann ich die Gleichung besser faktorisiert schreiben

(x - 3)^2·(x - 2)^3 = (x - 3)^2·(x - 2)^3

Man sieht das auf beiden Seiten exakt der Gleiche Term steht

Damit ist die Gleichung für alle x erfüllt.

Comments

Vielen lieben Dank! Aber es ist doch eine dreifache Nullstelle bei 2 weil es wie ein Sattel auf x=2 liegt und eine doppelte Nullstelle bei 3 weil der Graph bei x=3 die x-Achse berührt und dann wieder nach oben verschwindet.

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Wenn du jeden Seite dieser Gleichung einzeln als Funktion betrachtest dann ja. Aber woher kommt diese Gleichung hast du es von Links nach rechts ausmultipliziert?

Wenn du die Nullstellen haben wolltest dann kann man die Links doch wunderbar ablesen.

Wenn es eine Gleichung die dir gegeben war dann ist die für alle x erfüllt und eine Gleichung ist nicht als Graph zu interpretieren.

Vielleicht erklärst du kurz worum es dir geht oder postst mal die Aufgabe woher die Gleichung oder Teile kommt.

Answer 2

Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

0=(x-3)²  → x1=3

0=(x-2)³ → x2=2

~plot~(x-3)^2*(x-2)^3;[[-3|5|-5|5]];x=2;x=3~plot~

Answer 3

Hallo,

\((x-3)^2\cdot (x-2)^3=0\)

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn einer der Faktoren null ist.

$$\text{Das bedeutet hier, entweder ist}{}(x-3)^2=0\text{  oder  }(x-2)^3=0$$

$$(x-3)^2=0\Rightarrow x=3\\ (x-2)^2=0\Rightarrow x=2$$

Weil es sich bei x = 3 um eine doppelte Nullstelle handelt, schneidet der Graph der Funktion die x-Achse nicht, sondern berührt sie an dieser Stelle:

Comments

Weil es sich um eine doppelte bzw. eine dreifache Nullstelle handelt, schneidet der Graph der Funktion die x-Achse nicht, sondern berührt sie an diesen Stellen:

Diese Aussage ist nur für die doppelte Nullstelle richtig. Für die dreifache ist sie falsch.

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Dann verrate mir bitte, wie es richtig heißen muss.

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Bei einer dreifachen (auch fünffachen, siebenfachen,...) Nullstelle wird die x-Achse geschnitten. Was sonst?

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Danke, ich ändere es.

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Weil es sich um eine doppelte bzw. eine dreifache Nullstelle handelt, schneidet der Graph der Funktion die x-Achse nicht, sondern berührt sie an diesen Stellen:

Diese Aussage ist nur für die doppelte Nullstelle richtig. Für die dreifache ist sie falsch.

@abacus: Diese Deutung des Begriffs "schneiden" finde ich falsch und unzweckmäßig. Fassen wir, wie es üblich ist, Graphen als Punktmengen auf, können wir "schneiden" naheliegenderweise im Sinne der naiven Mengenlehre deuten. Das erweist sich auch als wesentlich praktischer. Falls unbedingt ein Begriff für den ggf. vorliegenden "Seitenwechsel" benötigt wird, bietet sich das durchaus etablierte Verb "kreuzen" an.

Ich verzichte vorerst darauf, Beispiele anzuführen, die deine Deutung unzweckmäßig erscheinen lassen. Jedenfalls finde ich sie in der Literatur nicht bestätigt.

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... naheliegenderweise im Sinne der naiven Mengenlehre deuten.

Inwiefern widerspricht das meiner Auffassung, dass im vorliegenden Fall der Begriff "Schneiden" sinnvoll ist?

Warum sollten "Berühren und "Schneiden" sich ausschließen (also "Berühren" kein Sonderfall von "Schneiden" sein können) , wenn man "Berühren" - wie gewohnt - abstrakt definiert. Anschaulich ist der letztere Begriff im Fall ungerader Potenzen des Linearfaktors der Nullstelle Fall keinesfalls!

Ich verzichte vorerst darauf, Beispiele anzuführen, die deine Deutung unzweckmäßig erscheinen lassen

Schade! Obwohl selbst das noch immer nicht

... finde ich falsch und unzweckmäßig

bedeuten würde.

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Falsch ist für mich jedenfalls

Weil es sich um eine doppelte bzw. eine dreifache Nullstelle handelt, schneidet der Graph der Funktion die x-Achse nicht

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Wolfgang, ich verstehe deinen Kommentar nicht. Nach der üblichen Auffassung von "schneiden" weist der Graph der Funktion y=(x-3)^{2} * (x-2)^{3} genau zwei Schnittpunkte mit dem Graphen der Funktion x=0 (das ist die x-Achse) auf. Insofern ist in meinen Augen sowohl Silvias ursprünglicher Einwand als auch abakus Entgegnung darauf falsch. Die geänderte Fassung

Weil es sich bei x = 3 um eine doppelte Nullstelle handelt, schneidet der Graph der Funktion die x-Achse nicht, sondern berührt sie an dieser Stelle:

ist auch falsch.

Answer 4

(x-3)^2 * (x-2)^3 = x^5 - 12x^4 + 57x^3 - 134x^2 + 156 x - 72

Gleichung nach Null auflösen

Du suchst vermutlich x und nicht Null.

Dann müsstest du schreiben

Gleichung nach x auflösen

Falls du schon weisst, ob links und rechts vom Gleichheitszeichen dasselbe steht, ist das vermutlich nicht die Gleichung, die du auflösen möchtest.

Answer 5

Hallo,

( x-3)² *(x-2)³ = 0        es ist doch wunderbar in Linearfaktorform dargestellt, und null wir diese Gleichung wenn ein Faktor null wird.

(x-3)²     wird null wenn x= 3

(3-3)² *(3-2)³  = 0*(3-2)³ = 0  

oder

x= 2         (2-3)² *(2-2)³ = (2-3)² *0 = 0

L = { 3 ,2}

Answer 6

Der ausmultiplizierte Term ist zur Bestimmung von Nullstellen nicht geeignet. Dazu verwendest du besser den Term mit den Klammern. Dabei musst du noch nicht einmal rechnen:

\(x_1=3\) zweifache Nullstelle,

\(x_2=2\) dreifache Nullstelle.

 Ausmultiplizieren ist nur zum Ableiten sinnvoll, falls man noch nicht weiß, was Produkt- und Kettenregel sind.