Bestimmen Sie ausgehend von e^x Grenzwert

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ausgehend von \( \mathrm{e}^{x}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \) den Grenzwert
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(\frac{5}{n}+1\right)^{n}}\)

Kann mir wer zeigen wie damit zu arbeiten ist mit einem Lösungsweg, da die Aufgabe mich mit dem e^x verwirrt.

Answer 1

Hallo Alessia,

$$\mathrm{e}^{x}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\left(\frac{5}{n}+1\right)^{n}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\left(1+\frac{5}{n}\right)^{n}}=\frac{1}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{5}{n}\right)^{n}}=\frac{1}{\mathrm{e}^{5}}=\mathrm{e}^{-5}$$

:-)

Answer 2

Aus lim(1/n+1)ⁿ=e folgt lim(1/n+1)⁵ⁿ=e⁵. Setze 5n=m und n=m/5 dann gilt (1/n+1)⁵ⁿ=(5/m+1)^m und lim(5/m+1)^m=e⁵. Der gesuchte Grenzwert ist daher 1/e⁵.