Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 860 von 1000 Plätzen belegt werden?

Question

Aufgabe:

Ein Schiff mit 1000 Plätzen geht davon aus, dass nur 90% der Buchungen angetreten werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 860 von 1000 Plätzen belegt werden?

Problem/Ansatz:

Ich ging davon aus, dass sich diese Aufgabe einfach mit Hilfe der Binomialverteilung lösen lässt.

Also:

P(A) = (1000! / (860! * 140!)) * 0,9^2 * 0,1^2

Wenn ich dies in den Taschenrechner eintrage erhalte ich jedoch nur eine Fehlermeldung, weil die Fakultäten zu hoch sind.

Übersehe ich eine Möglichkeit dies auszurechnen bzw. ist mein Ansatz überhaupt richtig?

Comments

Es muss lauten : ... *0,9^860*0,1^140

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Beim Problem mit den für den Rechner zunächst zu großen Fakultäten könnte dir eventuell die Stirling-Formel helfen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Stirlingformel#Grundlegendes

Die liefert dann zwar auch nicht sofort Ergebnisse, welche dein Rechner gleich verkraften kann - aber mittels Zugabe von etwas Hirnschmalz (und Kenntnissen über natürliche Logarithmen) kommst du dann vielleicht trotzdem zum Ziel.

Answer 1

Du könntest die eingebaute Binomialverteilung von vielen Taschenrechnern benutzen

P(X = 860) = 0.0000120864143

Was manchmal auch möglich ist, ist eine Näherung über die Normalverteilung. Aber auch dort bekommst du ohne Taschenrechner Probleme wegen der zu geringen Wahrscheinlichkeiten.

Comments

Ach, natürlich. Vielen Dank, daran hatte ich gar nicht gedacht. Ergibt das Ergebnis im Sinne der Aufgabenstellung denn Sinn? Ich meine, ist es so unwahrscheinlich, dass genau 860 Plätze belegt werden? Oder bin ich die Aufgabe komplett falsch angegangen?

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Die Bedingung "exakt 860 Plätze belegt" ist doch sehr einschränkend und liegt schon sehr deutlich neben dem Erwartungswert (900 Plätze belegt), der (als exakter Wert) auch selber nur eine geringe Auftretenswahrscheinlichkeit hat. Betrachte dann mal die Normalverteilungskurve und ihren steilen Abfall links und rechts von ihrem Maximum etwa im Bereich von μ-3σ bis μ+3σ  (μ=Mittelwert, σ=Standardabweichung).

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Sigma war aufgerundet bei 10 also liegen im 3-Sigma bereich etwa 60 werte. d.h. ausserhalb dieses bereiches 940 Werte.

Da außerhalb des 3 Sigma-Intervalls eh weit unter 1% liegen, kann ich die Wahrscheinlichkeit mit

0.01 / 940 = 0,00001

abschätzen. Dieses ist natürlich nur eine ganz grobe abschätzung um dir zu zeigen das es nicht so unwahrscheinlich ist so eine geringe wahrscheinlichkeit zu bekommen.