Es gibt in meinen Augen eine komplexe und eine simple Lösungsvariante.
Variante 1 (komplex)
Wir definieren:
\(A_k\): Die erste Sechs tritt in Versuch Nummer \(k\) auf.
\(B\): Es treten genau zwei Vierer vor der ersten \(6\) auf. $$P(B \ | \ A_k) = ?,\quad P(B \ | \ A_1) = 0 ,\ P(B \ | \ A_2) = 0$$ $$P(B|A_k) = \binom{k-1}{2} \cdot p^2 \cdot (p-1)^{k-1-2} = \binom{k-1}{2} \cdot \bigg( \frac{1}{5} \bigg)^2 \cdot \bigg( \frac{4}{5} \bigg)^{k-3}$$ $$P(A_k) = \bigg(\frac{5}{6}\bigg)^{k-1} \cdot \frac{1}{6}$$ Aus diesen Überlegungen lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnenberechnen: $$P(B)$$ $$= \sum\limits_{k=1}^\infty P(A_k) \cdot P(B \ | \ A_k) $$ $$= \sum\limits_{k=3}^\infty \bigg( \frac{5}{6} \bigg)^{k-1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \binom{k-1}{2} \cdot \bigg(\frac{1}{5}\bigg)^2 \cdot \bigg( \frac{4}{5} \bigg)^{k-3}$$ $$ = \frac{1}{6} \cdot \bigg( \frac{1}{5} \bigg)^2 \cdot \bigg( \frac{5}{6} \bigg)^2 \cdot \sum\limits_{k=3}^\infty \bigg( \frac{5}{6} \bigg)^{k-3} \cdot \binom{k-1}{2} \cdot \bigg( \frac{4}{5} \bigg)^{k-3} $$ $$ = \frac{1 \cdot 1 \cdot 5^2}{6 \cdot 5^2 \cdot 6^2} \cdot \sum\limits_{k=3}^\infty \bigg( \frac{4}{6} \bigg)^{k-3} \cdot \frac{(k-1) \cdot (k-2)}{2} $$ $$ = \frac{1}{6^3} \cdot \sum\limits_{k=2}^\infty \bigg( \frac{4}{6} \bigg)^{k-2} \cdot \frac{k \cdot (k-1)}{2}$$ $$= \frac{1}{6^3 \cdot 2} \cdot \sum\limits_{k=2}^\infty \bigg( \frac{4}{6} \bigg)^{k-2} \cdot k \cdot (k-1) $$ $$ = \frac{1}{6^3 \cdot 2} \cdot \frac{2}{\big(1 - \frac{4}{6} \big)^3} = \frac{1}{2 \cdot 6^3} \cdot \frac{2}{\big( \frac{2}{6} \big)^3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 6^3}{2 \cdot 6^3 \cdot 2^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$$
Variante 2 (simpel)
Wir betrachten lediglich die Augenzahlen \(4\) und \(6\) (die anderen Würfe werden ignoriert). Wir würfeln somit quasi nur mit Seite \(4\) und \(6\). Z. B.: \(4,6,4,6,6,4, \ldots\) Gesucht ist \(P(4,4,6)\). Dies entspricht \(\big(\frac{1}{2}\big)^3 = \frac{1}{8}\).
