Aufgabe:
Ableiten von gebrochen rationalen Funktionen dritten Grades.
$$ f(x)=\frac{x^{3}-4 x^{2}+4 x}{4 x^{2}-8 x+4} $$
Problem/Ansatz:
Ich muss die ersten beiden Ableitungen machen (Zwecke der Berechnung von Extremwerten).
Ich glaube mein Ansatz ist richtig, aber beim "finalisieren" der ersten Ableitung komme ich nicht weiter.
Dementsprechend habe ich dazu meine Frage und würde mich über eure Hilfe freuen.
MFG
Im ersten Schritt habe ich den Bruch 1/4 "ausgeklammert".
→ $$ f(x)= \frac{1}{4}\frac{x^{3}-4 x^{2}+4 x}{4 x^{2}-8 x+4} $$
Im zweiten Schritt habe ich im Zähler (1)x ausgeklammert und die Funktionen im Nenner und Zähler in binomische Funktionen umgewandelt.
→ $$ f(x)= \frac{1}{4}\frac{x{(x-2)}^{2}}{(x-1)^{2}} $$
Nun wollte ich mit der Quotienregel und Potenzregel die Funktion ableiten.
→ u'=2x(x-2)+(x-2)^2 & v'=2(x-1)
Jetzt die Funktion zusammensetzen nach (u'*v-u*v')/v^2 und hier beginnt mein Problem. Ich weiß nicht wie man die Funktion ausrechnet bzw. vernünftig vereinfacht.
→ $$ f(x)= \frac{1}{4}\frac{(2x(x-2)+(x-2)^2)*(x-1)^2-2x(x-2)^2*(x-1)}{(x-1)^{4}} $$
Gibt es eine Regel wie ich diese Funktion zusammenfasse bzw. vereinfache oder habe ich schon oben ein Fehler gemacht? Spontan würde mir einfallen dass man das v von u'*v mit dem v^4 kürzt. Dadurch hätte man $$ f(x)= \frac{1}{4}\frac{(2x(x-2)+(x-2)^2)-2x(x-2)^2*(x-1)}{(x-1)^{3}} $$
Edit: Fehler beim aufschreiben der Formel der Quotientenregel behoben
