Rationale Funktion erfinden?

Question

ich muss eine rationale Funktionen erfinden, die folgende Funktionen als Asymptote hat:

g(x)=2x²+2

g(x)=3x³+3

wie soll das Funktionieren? habt ihr Ansätze?

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Hallo pia011,

der Clou ist doch das ich der Funktion
f ( x ) = 2x^2 + 2
noch ein weiteres Glied hinzufüge  z.B.
g ( x ) = 2x^2 + 2  + 1/x
Dies Glied verschwindet wenn x gegen ∞ oder
- minus ∞ geht denn es gilt
1 / ∞ = 0

lim x -> ∞ [ 2x^2 + 2  + 1/x ] = 2x^2 + 2  

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vielen dank aber verstehe leider nicht genau was du meinst :)

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g ( x ) = 2x^2 + 2  + 1/x
was passiert wenn iich x gegen unendlich
gehe lasse
g ( x ) = 2x^2 + 2  + 1/(unendlich)

1/(unendlich) = 0
als heißt die Asymptote
g ( x ) = 2x^2 + 2 
und wird damit zu f (x).

g wird im unendllichen zu f

Answer 1

Aloha :)

Es reicht, einen Summanden dazu zu schreiben, der für \(x\to\infty\) verschwindet, z.B. \(\frac{1}{x}\):

$$\frac{1}{x}+2x^2+2$$

~plot~ 1/x+2x^2+3 ; 2x^2+3; [[-5|5|-20|20]] ~plot~

oder, auch hübsch \(\frac{3}{x^2}\):

$$\frac{3}{x^2}+3x^3+3$$

~plot~ 3/x^2+3x^3+3 ; 3x^3+3; [[-3|3|-20|20]] ~plot~

Comments

Vielen Dank aber wie bis du drauf gekommen? Würde es auch gerne selber lösen können.

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Habe ich doch oben geschrieben. Denke dir irgendeine Funktion aus, die für \(x\to\infty\) verschwindet und addiere sie zu der gewünschten Asymptote. Ich hatte \(\frac{1}{x}\) und \(\frac{3}{x^2}\) gewählt. Du kannst sicher viele andere Beispiele finden ;)

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Alles Klar. Vielen Dank!

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Hallo nochmal, was wolltest du genau mit den Graphen und den Funktionen f1 und f2 zeigen? Weil beim ersten Beispiel war das absolutglied +2 und bei f1 ist es +3 wieso?

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Ich wollte zeigen, dass die Funktionen sich im Unendlichen an ihre Asymptoten annähern. Wie die Funktion in der Nähe der y-Achse aussieht, spielt für die Asymptoten keine Rolle, die Absolutglieder ergeben sich einfach aus der zum Addieren gewählten Funktion.

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Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass die gesuchte Funktion GLEICHZEITIG Asymptote von 2x²+2 und von 3x³+3 sein soll.

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Ja, das ist natürlich auch eine mögliche Interpretation...

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Alles Klar. Also sind 1/x + 2x^2 + 2 und 3/x^2 + 3x^3 + 3 meine rationalen Funktionen, welche halt die von mir genannten Asympote als Funktion haben. Der Graph ist dann als Verdeutlichung, dass sie sich im Unendlichen an ihre Asymptoten annähern. Habe ich es richtig verstanden? Tut mir leid, dass ich so viel Frage, aber will es ungern einfach abschreiben sondern verstehen :)

Answer 2

ich muss eine rationale Funktionen erfinden, die folgende Funktionen als Asymptote hat:

g(x)=2x²+2

g(x)=3x³+3

wie soll das Funktionieren? habt ihr Ansätze?

Du brauchst eine Funktion k(x)*(2x²+2)+m(x)*(3x³+3), bei der die beiden "Faktoren" k(x) und m(x) folgende Eigenschaften haben:

\( \lim\limits_{x\to\infty} k(x) = 1\)  und \( \lim\limits_{x\to-\infty} k(x) = 0\)

\( \lim\limits_{x\to\infty} m(x) = 0\)  und \( \lim\limits_{x\to-\infty} m(x) = 1\)

(letzteres lässt sich mit m(x)=1-k(x) erreichen.)

Aber erkläre vorsichtshalber mal vorher, was du mit "rationale Funktion" konkret meinst...

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Vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Es muss nicht gleichzeitig sein, sondern zwei separate Funktionen muss ich erstellen. :)