Hallo Pia,
wenn man sich die Punkte anschaut, kann man eine gewisse Regelmäßigkeit erkennen. Die Kurve ist punktsymmetrisch zum Punkt \((3;0)\). Daraus folgt ein Polynom 5.Ordnung mit folgenden Aussehen$$p(x) = a(x-3)^5 + b(x-3)^3 + c(x-3)$$damit bleiben 'nur' die drei Parameter \(a\), \(b\) und \(c\). Legt man die 'klassische' Methode zu Grunde, so gilt es, folgendes LGS zu lösen:$$\begin{pmatrix}0,045916502& 0,157464& 0,54\\ 11,86367498& 4,410944& 1,64\\ 32& 8& 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,42\\ -3,63\\ 0\end{pmatrix}$$Das gibt ungefähr (auf 2 Stellen hinterm Komma genau) \(a=1\), \(b=-5\) und \(c= 4\).
Im Plot sieht das so aus:
~plot~ {1|0};{1.36|3.63};{2.46|-1.42};{3.54|1.42};{4.64|-3.63};{5|0};(((x-3)^2-5)*(x-3)^2+4)*(x-3);[[-1|7|-4|4]] ~plot~
... ob man da auch noch einfacher drauf kommen kann, muss man mal sehen ;-)
Nachtrag:
.. und das kann man. Wichtig ist, das Polynom grob zu skizzieren! Auch wenn man den genauen Verlauf nicht kennt, kann man den Graphen in etwa durch die gegebenen Punkte legen (s. Plot). Offensichtlich hat man ein Polynom 5.Ordnung vor sich mit offensichtlich 5 reellen Nullstellen. Zwei der Nullstellen sind schon explizit gegeben: \(1\) und \(5\). Aus der Symmetrie um \(x=3\) folgt die dritte Nullstelle mit \(x=3\) (s.o.).
Wenn man nun davon ausgeht, dass das eine 'synthetische' Aufgabe aus einer Prüfung ist, so ist das Ergebnis wahrscheinlich nicht kompliziert. Jetzt noch mal scharf auf die Skizze schauen und drei der fünf Nullstellen sind \(1\), \(3\) und \(5\) und die zwei verbleibenden liegen zwischen \(1\) und \(3\) und zwischen \(3\) und \(5\). Na!?
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Dann kann man es doch mal mit \(2\) und \(4\) versuchen! und schreibt mit dieser kühnen Vermutung:$$p(x)= a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$$Zur Kontrolle setze man den ersten Wert ein, der keine Nullstelle ist \((1,36;\, 3,63)\):$$p(x=1,36) \approx a \cdot 3,631$$D.h. das \(a\) ist in etwa \(a=1\). Das kann man nun recht fix noch mit den anderen Werten verifizieren.
Das gefundene Produkt lässt sich auch geschickt in die bereits gefundene Form eines ungeraden Polynoms umwandeln:$$\begin{aligned} p(x) &= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) \\ &= ((x-1)(x-5)) \cdot ((x-2)(x-4)) \cdot (x-3) \\ &= (x^2-6x+5)(x^2-6x+8)(x-3) \\ &= (x^2-6x+9-9+5)(x^2-6x+9-9+8)(x-3) \\ &= ((x-3)^2-4)((x-3)^2-1)(x-3) \\ &= \left( (x-3)^4 -5(x-3)^2 + 4\right) (x-3) \\ &= (x-3)^5 -5(x-3)^3 + 4(x-3) \\ \end{aligned}$$... und das alles fast(!) ohne Taschenrechner.
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Gruß Werner
