Wie bestimme ich eine Polynomfunktion? 6 Punkte sind gegeben.

Question

Ich muss eine Polynomfunktion bestimmen, welche durch die Punkte (1 | 0), (1,36 | 3,63), (2,46 | -1,42), (3,54 | 1,42), (4,64 | - 3,63) und (5 | 0) geht.

Habt ihr Ansätze?

In der Prüfung dürfen wir übrigens keinen programmierbaren Taschenrechner benutzen, ansonsten sind alle erlaubt.

Comments

Dies führt auf ein lineares 6x6-Gleichungssystem, die Lösung eines solchen Systems halte ich im Rahmen einer Prüfung für viel zu aufwendig und viel zu fehleranfällig.

---

Was wäre eine Alternative, wie man es schneller lösen könnte?

---

Wie wäre es mit:

  f(x) =  (x-1) · (x-2) · (x-3) · (x-4) · (x-5)

(kiurz skizziert, kleine Blitzmeditation - und voilà !)

---

Das ist schön, steht aber auch schon in der Antwort von Werner.

---

Diese früheren Antworten habe ich vorher gar nicht gesehen. Warum man nicht jeweils alles sieht, was schon eingegangen ist, ist mir nicht klar !

Answer 1

Hallo Pia,

wenn man sich die Punkte anschaut, kann man eine gewisse Regelmäßigkeit erkennen. Die Kurve ist punktsymmetrisch zum Punkt \((3;0)\). Daraus folgt ein Polynom 5.Ordnung mit folgenden Aussehen$$p(x) = a(x-3)^5 + b(x-3)^3 + c(x-3)$$damit bleiben 'nur' die drei Parameter \(a\), \(b\) und \(c\). Legt man die 'klassische' Methode zu Grunde, so gilt es, folgendes LGS zu lösen:$$\begin{pmatrix}0,045916502& 0,157464& 0,54\\ 11,86367498& 4,410944& 1,64\\ 32& 8& 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1,42\\ -3,63\\ 0\end{pmatrix}$$Das gibt ungefähr (auf 2 Stellen hinterm Komma genau) \(a=1\), \(b=-5\) und \(c= 4\).

Im Plot sieht das so aus:

~plot~ {1|0};{1.36|3.63};{2.46|-1.42};{3.54|1.42};{4.64|-3.63};{5|0};(((x-3)^2-5)*(x-3)^2+4)*(x-3);[[-1|7|-4|4]] ~plot~

... ob man da auch noch einfacher drauf kommen kann, muss man mal sehen ;-)

Nachtrag:

.. und das kann man. Wichtig ist, das Polynom grob zu skizzieren! Auch wenn man den genauen Verlauf nicht kennt, kann man den Graphen in etwa durch die gegebenen Punkte legen (s. Plot). Offensichtlich hat man ein Polynom 5.Ordnung vor sich mit offensichtlich 5 reellen Nullstellen. Zwei der Nullstellen sind schon explizit gegeben: \(1\) und \(5\). Aus der Symmetrie um \(x=3\) folgt die dritte Nullstelle mit \(x=3\) (s.o.).

Wenn man nun davon ausgeht, dass das eine 'synthetische' Aufgabe aus einer Prüfung ist, so ist das Ergebnis wahrscheinlich nicht kompliziert. Jetzt noch mal scharf auf die Skizze schauen und drei der fünf Nullstellen sind \(1\), \(3\) und \(5\) und die zwei verbleibenden liegen zwischen \(1\) und \(3\) und zwischen \(3\) und \(5\). Na!?

[spoiler]

Dann kann man es doch mal mit \(2\) und \(4\) versuchen! und schreibt mit dieser kühnen Vermutung:$$p(x)= a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$$Zur Kontrolle setze man den ersten Wert ein, der keine Nullstelle ist \((1,36;\, 3,63)\):$$p(x=1,36) \approx a \cdot 3,631$$D.h. das \(a\) ist in etwa \(a=1\). Das kann man nun recht fix noch mit den anderen Werten verifizieren.

Das gefundene Produkt lässt sich auch geschickt in die bereits gefundene Form eines ungeraden Polynoms umwandeln:$$\begin{aligned} p(x) &= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) \\ &= ((x-1)(x-5)) \cdot ((x-2)(x-4)) \cdot (x-3) \\ &= (x^2-6x+5)(x^2-6x+8)(x-3) \\ &= (x^2-6x+9-9+5)(x^2-6x+9-9+8)(x-3) \\ &= ((x-3)^2-4)((x-3)^2-1)(x-3) \\ &= \left( (x-3)^4 -5(x-3)^2 + 4\right) (x-3) \\ &= (x-3)^5 -5(x-3)^3 + 4(x-3) \\ \end{aligned}$$... und das alles fast(!) ohne Taschenrechner.

[/spoiler]

Gruß Werner

Comments

Vielen dank für deine Ausführliche Nachricht. Ich würde das gerne selber lösen können, wie bis du genau auf die Funktion ()=(−3)5+(−3)3+(−3) gekommen und sind (=1 a = 1 , =−5 b = − 5  und =4 c = 4) die Lösungen vom LGS? Nur zum Verständnis :)

---

wie bis du genau auf die Funktion p(x)=a(x−3)^5+b(x−3)^3+c(x−3) gekommen

Durch die Punktsymmetrie bei \(x=3\). Verschiebe die Funktion um \(3\) nach links, d.h. man betrachte nicht \(x\) sondern \(x-3\). Dann wird aus $$\begin{aligned} x_i &= \begin{pmatrix}1& 1.36& 2.46& 3.54& 4.64& 5\end{pmatrix} \\ x_i - 3 &= \begin{pmatrix}-2& -1.64& -0.54& 0.54& 1.64& 2\end{pmatrix} \end{aligned}$$und ein punktsymmetrisches Polynom hat nur Koeffizienten vor ungeraden Potenzen, da \(p(u) = -p(-u)\) gilt. Folglich $$p(x) = a(x-3)^5 + b(x-3)^3 + c(x-3)$$

und sind (a = 1 , b = − 5  und c = 4) die Lösungen vom LGS?

Ja

Answer 2

Die Funktion

        \(f_{2,46}(x) = -1,42\cdot \frac{(x-1)(x-1,36)(x-3,54)(x-4,64)(x-5)}{(2,46-1)(2,46-1,36)(2,46-3,54)(2,46-4,64)(2,46-5)}\)

hat Nullstellen an allen von dir genannten Punkten außer bei 2,46. Dort hat sie den Funktionswert -1,42.

Comments

Von Nullstellen steht doch gar nichts in der Aufgabe.     :-)

---

Die Funktion

        \(f_{3,54}(x) = 1,42\cdot \frac{(x-1)(x-1,36)(x-2,46)(x-4,64)(x-5)}{(3,54-1)(3,54-1,36)(3,54-2,46)(3,54-4,64)(3,54-5)}\)

hat Nullstellen an allen von dir genannten Punkten außer bei 3,54. Dort hat sie den Funktionswert 1,42.

Die Funktion

        \(f(x) = f_{2,46}(x) + f_{3,54}(x)\)

hat Nullstellen an allen von dir genannten Punkten außer bei 2,46 und bei 3,54. Dort hat sie die Funktionswerte -1,42 bzw. 1,42.