Unterräume direkte Summe / Beweis durch Gegenbeispiel

Question

/Morgen!

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und seien U₁, U₂ ⊂ V lineare Unterräume mit

    V = U₁ ⊕ U₂

Widerlegen Sie:

Für jeden Endomorphismus φ auf V gilt φ^-1(V) = φ^-1(U₁) ⊕ φ^-1(U2)

Zwei Fragen dazu:

Warum spielt das ^-1 dabei eine Rolle, könnte man nicht einfach einen Endomorphismus als φ^-1 definieren und der Exponent wäre damit überflüssig?

Zur zweiten Frage:

Gefordert ist ein Gegenbeispiel. Meine Idee: Wähle V = ℝ³ und φ z.B x² + 1 (oder was sich auch immer als Gegenbeispiel herausstellen wird). Dann sei U₁ einfach die x₁-Achse und U₂ die x₂-x3-Ebene. Dann addiere ich einfach die jeweils durch die Funktion geschickten Werte der Unterräume und gucke ob ich damit den selben Wert erhalte wie auf der linken Seite der Gleichung. Komme ich damit zu einem Ergebnis oder bin ich auf dem Holzweg?

Answer 1

Warum spielt das ^-1 dabei eine Rolle ?

Das ist die Bezeichnung für die Urbildmenge von ...

also etwa  φ^-1(U₁) ist die Menge aller Elemente von V ,

die durch φ auf ein Element von U₁ abgebildet werden.

Comments

Trotzdem fällt mir irgendwie kein Gegenbeispiel bzw. ein Ansatz ein, der mir helfen könnte die Aufgabe zu lösen. Hat irgendjemand vielleicht eine Idee?