Ungleichungen und Monotonie. Bsp. e) x^2 ≥ 16 ⇒ ⇐ ⇔ ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.) x < -4

Question

Hallöchen,

 

wir haben die Aufgabe die richtigen "Kästchen" (bzw. Symbole) zwischen den folgenden Ungleichungen anzukreuzen (x reelle Zahl):

 

a)   x >  2       ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)         x³ > 8

b)   x³ ≤ 27    ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)         x ≤ 9

c)   x² ≥ 4       ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x ≥  2 

d)   x > 2         ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        1/x < 1/2

e)   x² ≥ 16     ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x < -4

f)    x > a          ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)         e^a  < e ^x      (wobei a eine reelle Konstante)

g)   x > b          ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        e^-b  > e^x       (wobei b eine reelle Konstante)

h)   x²  < 9       ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        l x l  < 3 

i)   e^x  < 1        ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x < 0

j)   lnx < 1        ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x < e

k)   x² > 2        ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x³ > 8

 

Irgendwie weiß ich nicht wie man da vorgehen soll, da meine seine Entscheidung des Ankreuzens natürlich kurz Begründen soll und ich also leider nicht stumpf im Taschenrechner herumprobieren darf.... ;)

 

Comments

Weisst du denn, wie man Ungleichungen (äquivalent) umformen darf?

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Ich befürchte nicht :(

Answer 1

Farben: Rot, wenn du das allgemeinste wählen sollst.

Blau: Gilt auch ist aber schwächer.

a)   x >  2       ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)         x³ > 8

b)   x³ ≤ 27     ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)         x ≤ 9

x^3 ≤ 27  ⇔ x ≤ 3                  

6 ≤ 9 aber 6^3 > 27

c)   x² ≥ 4       ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x ≥  2 

Bsp. (-2)^2 ≥ 4 aber - 2 < 2.

d)   x > 2         ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        1/x < 1/2

x> 2      |: x

1 > 2/x      |:2

1/2 > 1/x

x kann in beiden Termen nicht 0 sein.

e)   x² ≥ 16     ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x < -4

f)    x > a          ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)         e^a  < e ^x      (wobei a eine reelle Konstante)

y=e^x ist eine streng monoton steigende Funktion

g)   x > b          ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        e^-b  > e^x       (wobei b eine reelle Konstante)

Hast du g) richtig abgeschrieben?

h)   x²  < 9       ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        l x l  < 3 

i)   e^x  < 1        ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x < 0

e^0 = 1. y=e^x monoton steigend

j)   lnx < 1        ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x < e

Wenn x neg. ist, ist lnx gar nicht definiert

k)   x² > 2        ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        x³ > 8  ⇔ x> 2

(-2)^2 = 4        aber (-2)^3 = -8 <8

Comments

Ohh danke!

Wegen g) schaue ich nachher nochmal. Und wähle es auch dann als beste Antwort ;)

Kannst du mir denn vielleicht beschreiben wie man dabei vorgeht vielleicht an ein oder zwei Beispielen erklären?
Ich möchte es auch verstehen und tatsächlich nicht nur von anderen Aufgaben lösen lassen ;)

Aber großes Dankeschön dafür schon mal!

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Ein paar Kurzbegründungen habe ich dir schon reingeschrieben. Ich hoffe, du kommst da so draus. Vielleicht mal die Seite neu laden.

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Ich habe g) übrigens tatsächlich richtig geschrieben...

:)

Gibt es da keine Lösung?

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Es sind einfach beide Richtungen falsch.

g)   x > b          ⇒   ⇐   ⇔   ⇒ (durchgestr.) ⇐ (durchgestr.)        e^-b  > e^x       (wobei b eine reelle Konstante)

Bsp. x=-1 und b=-2  dann e^2 > e^{-1} ist ok.

Bsp. x = 5 und b=-5 dann e^{-5} > e^{-5} ? falsch : Daher rote Markierung.

umgekehrt:

e^6 > e^{-8}   und dazu (-8) > (-2) ?? ist falsch: Daher die violette Markierung.