Ungleichungen beweisen? Bsp. x + 1/x ≥ 2 für x>0 .

Question

Wie kann ich diese Ungleichungen beweisen, wenn ich ja gar keine Zahlen habe?

Answer 1

2xy ≤ e^2 x^2 + y^2 / e^2

0 ≤ e^2 x^2  - 2xy + y^2 / e^2    binomi !

0 ≤ ( ex  -  y/e )^2 und Quadrate sind nie negativ

Answer 2

(b)  Für alle \(x\in\mathbb R\) gilt bekanntlich \((x-1)^2\ge0\).$$\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0$$$$\Leftrightarrow x^2+1\ge2x.$$Für \(x>0\) folgt daraus nach Division durch \(x\)$$x+\frac1x\ge2.$$

Answer 3

bei c) kommt heraus (x-y)^2 > 0