Reelle Lösungen von Ungleichungen mit Beträgen. Bsp. a) 3x+4 ÷ |x+2| ≥ 1

Question

Man bestimme alle reellen Lösungen der Ungleichung

a) 3x+4 ÷ |x+2| ≥ 1

b) |3x+4| ÷ x+2 ≥ 1

Fallunterscheidung

a) 3x+4 ≥ x+2 und x+2 ≥ 0   <=>     x ≥ -1 und x ∈ [-2, ∞) also x ∈[-1, +∞)

3x+4 ≥ -(x+2) und x+2 < 0   <=>     x ≥ -1,5 und x ∈  (-∞, -2) also x ∈ [-∞, -1,5,]

also (-∞, +∞) ?

b) 3x+4 ≥ x+2 und 3x+4 ≥ -2       <=>   x ≥ -1 und x ∈  (-2,+∞ )

-(3x+4) ≥ x+2 und 3x+4 < -2   <=>   x ≥ -1,5 und x ∈ (-∞, -2)

Ich bezweifle, dass das richtig ist, kann mir jemand helfen

Danke

Comments

Wenn du Brüche meinst, verwende bitte Klammern um Zähler und Nenner. Sonst verstösst du gegen Punkt- vor Strichrechnung. In der Überschrift habe ich bei "Reelle" ein l ergänzt. Hier aufpassen (Fachbegriff)

Answer 1

Hallo,

bei Fallunterscheidungen in Gleichungen oder Ungleichungen mit Beträgen gilt es das Vorzeichen der Terme zu betrachten, die in den Betragsstrichen stehen. Bei einer Ungleichung wie $$\frac{3x+4}{|x+2|} \ge 1$$braucht man nur die Fälle \(x+2 \ge 0\) und \(x+2 \lt 0\) zu beachten.

Im ersten Fall ist$$|x+2| = x+2 , \quad \text{für} \space x+2 \ge 0$$ und im zweiten Fall ist$$|x+2| = -(x+2), \quad \text{für}\space x+2 \lt 0$$Fall 1. \((x+2) \ge 0 \implies x \ge -2\): $$\begin{aligned} \frac{3x+4}{|x+2|}&\ge 1 && |\,\cdot (x+2)\\ 3x + 4 &\ge x+2 &&|\, -x - 4 \\ 2x &\ge -2 &&|\, \div 2\\ x &\ge -1 \end{aligned}$$Zusammen mit der anfänglichen Annahme von \(x \ge -2\) bleibt es bei $$\mathbb L_1 = \{x|\, x \ge -1\}$$Im zweiten Fall ist \(x+2 \lt 0 \implies x \lt -2 \):$$\begin{aligned}  \frac{3x+4}{|x+2|} &\ge 1 \\ \frac{3x+4}{-(x+2)} &\ge 1 && |\,\cdot -(x+2) \\ 3x + 4 &\ge -x - 2 &&|\, +x - 4 \\ 4x &\ge -6 \\ x &\ge - \frac 32 \end{aligned}$$\(x\) kann aber nicht gleichzeitig \(x \ge -3/2\) und \(x \lt 2\) sein. Folglich ist die zweite Lösungsmenge leer. Es bleibt bei $$\mathbb L = \{x|\, x \ge -1\}$$ und das ganze noch als Graph:

~plot~ (3x+4)/(abs(x+2));1 ~plot~

man sieht, dass der blaue Graph sich ab \(x \ge -1\) oberhalb der Linie \(y=1\) befindet.

Comments

Danke sie haben mir heute echt geholfen (:

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Ich habe für Frageteil b) dasselbe rausbekommen..kann das überhaupt sein?

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Ich habe für Frageteil b) dasselbe rausbekommen..kann das überhaupt sein?

es nicht genau dasselbe. Bei X-Werten von \(x \lt 2\) bleibt alles gleich, da dann beide Terme \(3x+4\) und \(x+2\) negativ sind und dann ist es egal welchen von beiden man mit den Absolutstrichen im Vorzeichen positiv macht. Der Unterschied liegt im Bereich von \(x \gt -2\).

Und da hier der Term \(|3x+4|\) in Betragstrichen steht, muss bei b) die Fallunterscheidung lauten:

Fall 1: \(3x+4 \ge 0 \implies x \ge - \frac 43\)

Fall 2: \(3x+4 \lt 0 \implies x \lt - \frac 43\)

Im Fall 1 ist alles wie bei a). Zähler und Nenner des Bruches sind positiv und die Lösungsmenge ist \(\mathbb L_1\) wie oben. Also muss man nur noch den Fall 2 betrachten. Zusätzlich setze ich \(x+2 \gt 0\) wegen der Multiplikation dieses Terms in der Ungleichung:$$\begin{aligned} -2 \le x &\le -\frac 43\\ \frac{|3x+4|}{x+2} &\ge 1 &&\left|\, (3x+4) \lt 0 \right. \\ \frac{-(3x+4)}{x+2} & \ge 1 &&\left|\, \cdot (x+2) \gt 0 \right. \\ -3x-4 &\ge x + 2 &&\left|\, -x+4 \right. \\ -4x &\ge 6 &&\left|\, \div (-4) \right. \\ x &\le - \frac 32\end{aligned}$$Im letzten Schritt muss aus dem \(\ge\) ein \(\le\) werden, da durch eine negative Zahl - die \((-4)\) - dividiert wird.

Die Lösungsmenge \(\mathbb L_2\) für diesen Fall ist also$$\mathbb L_2 = \{x\mid\, -2 \lt x \le -\frac 32 \}$$Und \(\mathbb L = \mathbb L_1 \cup \mathbb L_2\). Mache Dir das an Hand des Graphen nochmal klar

~plot~ (3x+4)/(abs(x+2));1;abs(3x+4)/(x+2);[[-6|5|-5|5]] ~plot~

Der grüne Graph stellt den linken Term der Gleichung in b) dar. Er unterscheidet sich von dem blauen nur im Bereich von \( 2 \lt x \lt -\frac 43\) und liegt daher im Bereich von \(\mathbb L_2\) oberhalb der roten Horizontalen \(y=1\).