Sei \( U \neq 0 \) ein Untermodul, dann ex \( v = (v_1,...,v_n) \in U \), \( v \neq 0 \). Sei \( i \in \{ 1,...,n \} \) mit \( v_i \neq 0 \). K ist ein Körper, d.h. \( v_i \) hat ein multiplikativ Inverses, für alle \( \lambda \in K \) ist also
$$ \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ & \ddots \\ & & 0\\ &&&\lambda v_i^{-1}\\&&&&0\\&&&&&\ddots\\&&&&&&0\end{pmatrix}}_{\in R} \begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_{i-1}\\v_i\\v_{i+1}\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\\lambda\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix} = \lambda e_i \in U $$
Für \( i \neq j \) suche jetzt mal eine Matrix \( E_{ij} \in R \) s.d. \( E_{ij} e_i = e_j \). Wenn du diese gefunden hast, weißt du, dass für alle \( \mu \in K \) auch $$ \mu e_j = \underbrace{E_{ij}}_{\in R} \underbrace{\mu e_i}_{\in U} \in U $$
Sei jetzt \( w = (w_1,...,w_n) \in M \), dann gilt: $$ w = \underbrace{w_1 e_1}_{\in U} + \dotsm + \underbrace{w_n e_n}_{\in U} \in U $$
also \( M = U \).
