Aloha :)
Bei den Schnittpunkten sind ja die \(x\)- und die \(y\)-Koordinaten gleich. Die Idee ist daher, die beiden Formeln für \(y\) gleich zu setzen, und dann das passende \(x\) auszurechnen:
$$\left.y_1=y_2\quad\right|\;\text{einsetzen}$$$$\left.3x+5=-x+10\quad\right|\;+x-5$$$$\left.4x=5\quad\right|\;:4$$$$\left.x=\frac{5}{4}\quad\right.$$Diesen \(x\)-Wert kannst du nun in einer der beiden \(y\)-Formeln einsetzen und erhältst den Schnittpunt \(S_1\left(\frac{5}{4}\,|\,\frac{35}{4}\right)\).
~plot~ 3x+5 ; -x+10 ; {5/4|35/4} ;[[-3|3|-5|12]] ~plot~
$$\left.y_1=y_2\quad\right|\;\text{x-Achse bedeutet } y_2=0$$$$\left.x+10=0\quad\right|\;-10$$$$\left.x=-10\right.$$Das liefert den Schnittpunkt \(S_2\left(-10\,|\,0\right)\).
~plot~ x+10 ; 0 ; {-10|0} ;[[-12|3|-5|12]] ~plot~
$$\left.y_1=y_2\quad\right|\;\text{einsetzen}$$$$\left.3x-1=3x+2\quad\right|\;-3x$$$$\left.-1=2\right.$$Diese Gleichung ist immer falsch. Weil sich das \(x\) heausgerechnet hat, können wir durch kein \(x\) der Welt, diese Gleichung richtig machen. Daher gibt es hier keinen Schnittpunkt.
~plot~ 3x-1 ; 3x+2; [[-3|3|-5|11]] ~plot~
