Mathematischer Satz zum Potenzieren einer Matrix mit Hilfe von Diagonalmatrizen

Question

ich wende mich wieder einmal mit einem mathematischen Problem an Euch. Wir haben jetzt das Diagonalisieren von Matrizen besprochen. Das habe ich soweit auch verstanden und ich kann mittels der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix auch die Diagonalmatrizen bzw. die aus den Eigenvektoren bestehenden Matrizen bilden. Nun soll folgende Aufgabe bearbeitet werden und dabei strauchele ich leider etwas.

Aufgabe:

A soll eine 3x3-Matrix sein. Nun soll ein mathematischer Satz formuliert werden, wie A^n, n ∈ ℕ, unter Verwendung von Diagnonalmatrizen berechnet werden kann. Dabei sollen die notwendigen Voraussetzungen an A, insbesondere in Hinsicht auf die Vielfachheiten der Eigenwerte, beachtet werden. 

Problem/Ansatz:

Mit den notwendigen Voraussetzungen sind vermutlich die Bedingungen gemeint, die eine Matrix erfüllen muss, damit man von ihr eine Diagonalmatrix bilden kann. Das wären die folgenden Bedingungen:

- die zu diagonalisierende nxn-Matrix A besetzt n verschiedene Eigenwerte
- für alle diese Eigenwerte stimmen sowohl die algebraische als auch die geometrische Vielfachheit überein

Das allgemeine Vorgehen zum Potenzieren ist nun wie folgt:

1) Prüfen, ob die in Frage stehende Matrix die oben genannten Bedingungen erfüllt
2) Ermitteln der Eigenwerte sowie deren Eigenvektoren.
3) Die Diagonalmatrix D besteht aus den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen, der Rest ist 0.
4) Die Eigenvektoren bilden die Matrix S, die Inverse dieser Matrix ist S^-1.
5) Es gelten folgende Verhältnisse: A=S*D*S^-1 sowie D=S^-1*A*S
6) Um nun die Matrix A^m zu errechnen, nutze ich A=S*D*S^-1.
7) Wenn A mit m potenziert werden soll, dann ist es ausreichend, in der genannten Gleichung die Matrix D mit m zu potenzieren. Bei einer Diagonalmatrix dürfen in diesem Fall die Werte auf der Hauptdiagonalen potenziert werden. Ich muss also jeden Wert auf der Hauptdiagonalen mit m potenzieren.
8) Somit gilt: A^m=S*D^m*S^-1

Nun habe ich zwei Fragen. Ist mein hier geschildertes Vorgehen soweit korrekt? Beim Nachrechnen mit unterschiedlichen Werten habe ich zumindest immer korrekte Ergebnisse erhalten.
Wie formuliere ich daraus nun einen mathematischen Satz? Wäre es ausreichend, die genannten Punkte (1-8) zu diesem Zweck einfach auszuformulieren?

Philippus

Comments

Die Eigenwerte müssen nicht notwendigerweise verschieden sein. Die Einheitsmatrix ist auch diagonalisierbar. Das charakteristische Polynom muss in Linearfaktoren zerfallen.

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 Spacko,

vielen Dank für Deine Antwort! Ich werde die von Dir genannten Punkte korrigieren bzw. ergänzen. Bin ich ansonsten denn auf der richtigen Fährte mit meinem Ansatz?


Philippus

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Hallo,

ich würde den Punkt 7 noch etwas formal ausführen, also etwa:

$$A=SDS^{-1} \Rightarrow A^m=SDS^{-1} SDS^{-1}  \cdots SDS^{-1} SDS^{-1} =SD^mS^{-1}$$

Die inneren Produkte ergeben jeweils \(S^{-1}S=I\) (Einheitsmatrix).

Gruß

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Hallo MathePeter,

vielen Dank für den Hinweis! Ich habe meinen Entwurf noch einmal überarbeitet und jetzt sieht er wie folgt aus:

Satz zur Berechnung von Aⁿ,n ∈ ℕ, mit Hilfe von Diagonalmatrizen:

Damit das Verfahren angewendet werden kann, muss die nxn-Matrix A folgende Bedingungen erfüllen:

- das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren
- für alle diese Eigenwerte stimmen sowohl die algebraische als auch die geometrische Vielfachheit überein

Ablauf des Potenzierens:

1) Wenn die Matrix die Voraussetzungen erfüllt, werden ihre Eigenwerte sowie die dazugehörigen Eigenvektoren ermittelt.

2) Die Diagonalmatrix D besteht aus den ermittelten Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen, der Rest ist 0.

3) Die ermittelten Eigenvektoren bilden die Matrix S, die Inverse dieser Matrix ist S^-1. Die Reihenfolge, in der die Eigenvektoren in der Matrix S angeordnet werden, muss der Reihenfolge der Eigenwerte in der Matrix D entsprechen.

4) Es gelten folgende Gleichungen: A=S*D*S^-1 sowie D=S^-1*A*S. Zum Berechnen von Aⁿ wird die Gleichung A=S*D*S^-1 genutzt.

5) Da A=S*D*S^-1 ist, ist dementsprechend Aⁿ=SDS^-1 * SDS^-1 * SDS^-1 * ... *SDS^-1=SDⁿS^-1 

Die inneren Produkte aus S^-1*S (rot markiert) ergeben die Einheitsmatrix und können daher in der Rechnung entfallen:

Aⁿ=SDS^-1 * SDS^-1 * SDS^-1 * ... *SDS^-1=SDⁿS^-1

6) Um Aⁿ zu errechnen, ist es nun ausreichend, wie in der Gleichung Aⁿ = SDⁿS^-1 die Diagonalmatrix mit n zu potenzieren. Da bei einer Diagonalmatrix in diesem Fall die Werte auf der Hauptdiagonalen potenziert werden dürfen, wird jeder dieser Werte mit n potenziert und das Ergebnis für Aⁿ durch Lösen der obigen Gleichung ermittelt.

Philippus