Seien A,B 2x2 Matrizen, sodass (AB)2=0 gilt. Gilt dann auch (BA)2=0?

Question

Aufgabe: Seien A,B 2x2 Matrizen, sodass (AB)^2=0 gilt. Gilt dann auch (BA)^2=0?

Problem/Ansatz: Mir fehlt bei dieser Aufgabe ein Ansatz. Ich vermute, dass man den Satz von Cayley-Hamilton verwenden muss, um dann das Minimalpolynom beider zu bestimmen und diese dann zu vergleichen.

Answer 1

Cayley-Hamilton ist ein guter Ansatz.

Das char. Polynom von \( M := AB \) hat die Form \( \chi_M = X^2 - \operatorname{Spur}(M)X + \det(M)I \).

Da \( 0 = \det(M^2) = \det(M)^2 \implies \det(M) = 0 \). Wegen Cayley-Hamilton: $$ 0 = M^2 - \operatorname{Spur}(M)M +\det(M)I = -\operatorname{Spur}(M)M $$ also \( \operatorname{Spur}(M) = 0 \) oder \( M = 0 \).

Falls \( M = 0 \), d.h. \( AB = 0 \), ist auch \( (BA)^2 = B(AB)A = 0 \)

Falls \( \operatorname{Spur}(M) = 0 \) erhält man $$ \det(BA) = \det(AB) = \det(M) = 0 \\ \operatorname{Spur}(BA) = \operatorname{Spur}(AB) = \operatorname{Spur}(M) = 0 $$

Das charakteristische Polynom von \( BA \) ist \( \chi_{BA} = X^2 - \operatorname{Spur}(BA)X + \det(BA) = X^2 \), wieder wegen Cayley Hamilton: \( (BA)^2 = 0 \)

Comments

Danke für die super Erklärung