Welchen Wert besitzen die folgenden bestimmten Integrale?

Question

Aufgabe:

Welchen Wert besitzen die folgenden bestimmten Integrale?

$$\int_{1}^{4}\frac{1-z^2}{z} dz$$

$$\int_{0}^{π}(a * sin(t) - b* cos(t)) dt$$

Problem/Ansatz:

Meine aktuellen Ansätze sehen wie folgt aus:

Könnt ihr mir bei den Aufgaben helfen?

Vielen Dank schon mal!

Answer 1

Aloha :)

$$I_1=\int\limits_1^4\frac{1-z^2}{z}dz=\int\limits_1^4\left(\frac{1}{z}-\frac{z^2}{z}\right)dz=\int\limits_1^4\left(\frac{1}{z}-z\right)dz=\left[\ln z-\frac{z^2}{2}\right]_1^4$$$$\phantom{I_1}=\left(\ln4-\frac{16}{2}\right)-\left(\ln1-\frac{1}{2}\right)=\ln4-\frac{15}{2}\approx-6,1137$$

$$I_2=\int\limits_0^\pi\left(a\sin t-b\cos t\right)dt=a\int\limits_0^\pi\sin t\,dt-b\int\limits_0^\pi\cos t\,dt=a\left[-\cos t\right]_0^\pi-b\left[\sin t\right]_0^\pi$$$$\phantom{I_2}=a\left(1-(-1)\right)-b(0-0)=2a$$

Comments

Danke für die schnelle Rückmeldung :)

Zu der letzten Zeile von I₂ habe ich folgende Frage:

Ich habe Folgendes rausbekommen:

$$a(-cos(π)-(-cos(0)) - b(sin(π)-sin(0))= a(-1-(-1)) - b(0-0) = 0$$

Kannst du mir darüber hinaus sagen, wann man am besten die Integrale bzw. die Funktion "trennt"?
In I₁ hast du ja den Bruch aufgeteilt und in I₂ hast du zwei Integrale gemacht. Wie kamst du darauf? Macht man das, wenn man im Zähler eine Summe hat bzw. trennt man Integrale, wenn es sich dabei um Summen von Produkten handelt?

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$$a\,(\,\underbrace{-\cos\pi}_{=1}-\underbrace{(-\cos0)}_{=-1}\,)=a\,(1-(-1))=a\,(1+1)=2a$$Man will sich das Integrieren ja so einfach wie möglich machen, daher verusche ich, Brüche als einache Summen zu scheiben und Integrale so einfach wie möglich zu halten. Da gibt es eigentlich keine festen Regeln. Wenn man mal ein paar Integrale ausgerechnet hat, bekommt man etwas Übung darin.

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Hatte meinen Taschenrechner auf Degree eingestellt..Jetzt klappt es, vielen Dank! :)

Ich habe noch etwas Schwierigkeiten, zu erkennen, wann ich die Rechnungen vereinfachen kann. Muss wohl einfach noch ein wenig weiter üben :)