Surjektiv, injektiv, bijektiv

Question

Einen wunderschönen Samstag-Nachmittag wünsche ich euch allen!

Uns wurde folegende Aufgabe gestellt:

Sei f: A → B eine Funktion. Wie verhält sich die Mächtigkeit der Mengen A und B zueinander, wenn f
1. surjektiv

2. injektiv

3. bilektiv ist?

Ich kenne die Definitionen von surjektiv, injektiv und bijektiv. Und auch die Defintion einer Funktion.

Was ich allerdings nicht weiß, ist, wie ich die Mengen A und B und deren Mächtigkeiten erkenne bzw. bestimme.

Könnte mir dabei jemand helfen?

 

Answer 1

1. Sei f surjektiv: D.h. Das Bild von f ist ganz B, da f wohldefiniert sein muss, hat jedes Element aus A höchstens ein Bild, wenn also alle Elemente aus B getroffen werden sollen, muss es mindestens genau so viele Elemente in A geben, wie es in B gibt, also: \(\#A\geq \#B\)

2. Sei f injektiv: D.h. Jedes Element aus B hat genau ein Urbild, also kann es in A nicht mehr Elemente geben als in B: \(\#A\leq\#B\)

3. Sei f bijektiv: D.h. jedes Element aus A lässt sich eineindeutig mit seinem Bild in B identifizieren und jedes Element aus B ebenso mit seinem Urbild, also muss zwangsläufig \(\#A=\#B\). Das folgt auch aus 1. und 2., da ja bijektiv surjektiv und injektiv bedeuted: \(\#A\geq \#B\geq \#A\)

\(\#\) heißt hier natürlich Mächtigkeit, wenn ihr das anders bezeichnet

Comments

bei 2. ist natürlich zu beachten  jedes Element aus dem Bild von f hat genau ein Urbild und das Bild von f ist Teilmenge von B, da ja nicht jedes Element aus B überhaupt getroffen werden muss