Betrachte erst mal den Fall a und c beide nicht 0. $$ \left(\begin{array}{ll} a & b & 1 & 0\\ c & d & 0 & 1 \end{array}\right) $$
um das c wegzubekommen, musst du doch erst mal oben mit c und unten mit a
multiplizieren
$$ \left(\begin{array}{ll} ac & bc & c & 0\\ ac & ad & 0 & a \end{array}\right) $$
und dann 2. Zeile minus erste
$$ \left(\begin{array}{ll} ac & bc & c & 0\\ 0 & ad-bc & -c & a \end{array}\right) $$
wenn also ad-bc≠0 ist, kannst du dadurch teilen und hast
$$ \left(\begin{array}{ll} ac & bc & c & 0\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right) $$
obere Zeile durch c
$$ \left(\begin{array}{ll} a & b & 1 & 0\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right) $$
und dann 1. Zeile minus b mal zweite
$$ \left(\begin{array}{ll} a & 0 & 1- \frac{-cb}{ad-bc} & \frac{-ab}{ad-bc}\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right) $$
vereinfachen
$$ \left(\begin{array}{ll} a & 0 & \frac{ad}{ad-bc} & \frac{-ab}{ad-bc}\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right) $$
oberste Zeile durch a
$$ \left(\begin{array}{ll} 1 & 0 & \frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc}\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right) $$
Jetzt nur noch zeigen, dass das Ergebnis auch stimmt, wenn einer von beiden ( a , c ) 0
ist. Beide 0 geht ja nicht wegen ad-bc ungleich 0.
Und die Rückrichtung zeigen.