Zeigen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus, dass eine Matrix

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus, dass eine Matrix
$$ \left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)  $$
genau dann invertierbar ist, wenn \( a d-b c \neq 0 \) gilt

Problem/Ansatz:

Ich hätte die Aufgabe so gelöst das ich mit der Einheitsmatrix ganz normal die Inverse berechne, dann müsste ja theoretisch diese Matrix [d -b]

                                             [-c a]

dabei rauskommen und wenn ich diese beiden Matrizen miteinander multipliziere, müsste in der Matrix ad-bc stehen. Mein Problem ist das ich bei der berechnung der Inverse nicht weiterkomme. Bis hier hin kam ich und weiß nicht mehr was ich machen soll $$ \left(\begin{array}{ll} a & b & 1 & 0\\ 0 & d & -c & 1 \end{array}\right) $$

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Betrachte erst mal den Fall a und c beide nicht 0. $$ \left(\begin{array}{ll} a & b & 1 & 0\\ c & d & 0 & 1 \end{array}\right)  $$

um das c wegzubekommen, musst du doch erst mal oben mit c und unten mit a

multiplizieren

$$ \left(\begin{array}{ll} ac & bc & c & 0\\ ac & ad & 0 & a \end{array}\right)  $$

und dann 2. Zeile minus erste

$$ \left(\begin{array}{ll} ac & bc & c & 0\\ 0 & ad-bc & -c & a \end{array}\right)  $$

wenn also ad-bc≠0 ist, kannst du dadurch teilen und hast

$$ \left(\begin{array}{ll} ac & bc & c & 0\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} &  \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right)  $$

obere Zeile durch c

$$ \left(\begin{array}{ll} a & b & 1 & 0\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} &  \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right)  $$

und dann 1. Zeile minus b mal zweite

$$ \left(\begin{array}{ll} a & 0 & 1- \frac{-cb}{ad-bc} &   \frac{-ab}{ad-bc}\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} &  \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right)  $$

vereinfachen

$$ \left(\begin{array}{ll} a & 0 & \frac{ad}{ad-bc} &   \frac{-ab}{ad-bc}\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} &  \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right)  $$

oberste Zeile durch a

$$ \left(\begin{array}{ll} 1 & 0 & \frac{d}{ad-bc} &   \frac{-b}{ad-bc}\\ 0 & 1 & \frac{-c}{ad-bc} &  \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right)  $$

Jetzt nur noch zeigen, dass das Ergebnis auch stimmt, wenn einer von beiden ( a , c ) 0

ist. Beide 0 geht ja nicht wegen ad-bc ungleich 0.

Und die Rückrichtung zeigen.

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Aloha :)

Vorsicht, der Gauß-Algorithmus dient zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Das darfst du nicht mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus verwechseln, mit dem Matrix-Inversionen durchgeführt werden können. Wenn wir also den Gauß-Algorithmus verwenden sollen, "dürfen" wir noch nicht wissen, dass die inverse Matrix entsteht, wenn wir dieselben Schritte an einer Einheitsmatrix wiederholen. Wir gehen daher von folgender Matrix-Gleichung aus und lösen sie mittels des Gauß-Algorithmus.$$\left(\begin{array}{r}a & b\\c & d\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}u & v\\w & x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$Diese Matrix-Gleichung zerfällt in 2 Vektorgleichungen:$$\binom{a}{c}u+\binom{b}{d}w=\binom{1}{0}\quad;\quad\binom{a}{c}v+\binom{b}{d}x=\binom{0}{1}$$Aus denen können wir vier Gleichungen für \(u,v,w,x\) ablesen:

$$\begin{array}{rrrrrl}u & v & w & x & = &\text{Operation}\\\hline a & 0 & b & 0 & 1 & \cdot c\\c & 0 & d & 0 & 0 & \cdot a\\0 & a & 0 & b & 0 &\cdot c\\0 & c & 0 & d & 1 & \cdot a\\\hline ac & 0 & bc & 0 & c & \\ac & 0 & ad & 0 & 0 & -\text{Zeile } 1\\0 & ac & 0 & bc & 0 & \\0 & ac & 0 & ad & a & -\text{Zeile }3\\\hline ac & 0 & bc & 0 & c & \\0 & 0 & ad-bc & 0 & -c & :(ad-bc)\\0 & ac & 0 & bc & 0 & \\0 & 0 & 0 & ad-bc & a & :(ad-bc)\\\hline ac & 0 & bc & 0 & c & -bc\cdot\text{Zeile }2\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{-c}{ad-bc} & \\0 & ac & 0 & bc & 0 & -bc\cdot\text{Zeile }4\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{a}{ad-bc} & \\\hline ac & 0 & 0 & 0 & \frac{adc}{ad-bc} & :ac\\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{-c}{ad-bc} & \\0 & ac & 0 & 0 & \frac{-abc}{ad-bc} & :ac\\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{a}{ad-bc} & \\\hline 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{d}{ad-bc} & \\0 & 0 & 1 & 0 & \frac{-c}{ad-bc} & \\0 & 1 & 0 & 0 & \frac{-b}{ad-bc} & \\0 & 0 & 0 & 1 & \frac{a}{ad-bc} & \\\hline\end{array}$$Wir haben auf dem Rechenweg durch \(ad-bc\) dividiert. Da dieser Term auch den Nenner im Ergebnis bildet, muss sicher \(ad-bc\ne0\) gelten, damit die inverse Matrix überhaupt definiert ist. Wir haben auf dem Rechenweg auch durch \(ac\) dividiert, was jedoch im Ergebnis nicht  mehr auftaucht. Um zu prüfen, ob das irgendwelche Einschränkungen für die Inverse hat, rechnen wir einach nach:$$\left(\begin{array}{r}a & b\\c & d\end{array}\right)\cdot\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{r}d & -b\\-c & a\end{array}\right)=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{r}ad-bc & 0\\0 & ad-bc\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$Wir sehen, dass \(ac=0\) keine notwendige Bedingung für die Existenz der Inversen ist. Die Inverse existiert daher genau dann, wenn \(ad-bc\ne0\) ist.

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