Aus dem Minimalpolynom auf die Bijektivität eines Endos schließen

Question

Aufgabe: Sei U ein endlich dimensionaler K-Vektorraum. Zeigen Sie:

               Ein Endomorphismus f:U->U ist genau dann ein Isomorphismus, wenn für sein Minimalpolynom p gilt: p(0) ist ungleich 0.

Problem/Ansatz: Aus der Behauptung folgt, dass das Minimalpolynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Daraus folgt, dass f nicht diagonalisierbar ist. Meine Frage ist nun, inwieweit mir das beim Beweisen der obigen Aussage helfen soll bzw. inwieweit man daraus auf die Bijektivität des Endomorphismus schließen kann. Ich wäre über jegliche Aufklärung dankbar.

Answer 1

p Isomorphismus

<=> p bijektiv

<=> p injektiv

<=> Kern p = {0} = Eigenraum(p, 0)

<=> 0 kein Eigenwert von p

<=> p(0) ≠ 0

Frage an dich: wo geht ein, dass U endlich dimensional ist?

Aus der Behauptung folgt, dass das Minimalpolynom nicht vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Woraus sollte das folgen?

Comments

Das sollte aus der Voraussetzung folgen, dass p(0) ungleich 0 ist. Es kann auch sein, dass ich da einen kleinen Denkfehler habe.

Um auf deine Frage einzugehen, ist das auf deinen Lösungsweg bezogen oder eine allgemeinere Frage?

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Das sollte aus der Voraussetzung folgen, dass p(0) ungleich 0 ist. Es kann auch sein, dass ich da einen kleinen Denkfehler habe.

Die Einheitsmatrix hat MiPo X-1, da ist 0 auch keine Nullstelle, aber offensichtlich zerfällt das Mipo in Linearfaktoren.

Um auf deine Frage einzugehen, ist das auf deinen Lösungsweg bezogen oder eine allgemeinere Frage?

Auf meinen Lösungsvorschlag

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Ich würde sagen an der Stelle, wo Kern p = {0} steht.

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p injektiv

<=> Kern p = {0} = Eigenraum(p, 0)

<=> 0 kein Eigenwert von p

Gilt immer, unabhängig von der Dimension.

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Dann geht das ja darin ein, dass p(0) ungleich 0 ist, wenn 0 kein EW von p ist.

Danke auf jeden Fall für deinen Lösungsvorschlag!