Parabelgleichung eines Rotationskörpers bestimmen. (Sektglas)

Question

Aufgabe:

Es ist angegeben, dass der Körper eines Sektglases mithilfe einer Parabel vom Typ f(x) = a*x² über dem Intervall [0;16] beschrieben/entsteht werden kann.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel.

b) Berechnen Sie wie viel ml Sekt in das Glas gefüllt werden kann, wenn die Flüssigkeit bis
zum Eichstrich (1 cm unter dem Rand) stehen darf.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir unsicher wie ich bei Rotationskörpern die Gleichung bestimmen kann, das Thema ist leider neu für mich.

Bei b würde ich dann das Integral der Funktion f auf dem Integral von 6 bis 13 berechnen. Es ist eine Grafik angegeben, wo die Flüssigkeit bei x = 6 beginnt und bei ca. 13 endet.

Bitte keinerlei Lösungen posten, sondern nur Ansätze und Hilfestellungen. Ich muss das selber Lösen :D

Comments

Stell einmal das Bild ein.

Für mich ist es einfacher das Sektglas um
90 ° drehen und dann wie gewohnt das Glas
um die x-Achse rotieren zu lassen.

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Aufgabe a konnte ich nun Lösen. Aber das Bild darf ich ja leider nicht einstellen. Da kommt beim Upload Button auch extra ein Hinweis, dass ich aus Büchern/Aufgaben nichts hier einstellen darf.

Auf dem Bild ist aber nur ein Sektglas in einem Koordinatensystem eingezeichnet welches von 0-16 geht.

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Sende das Bild  als e-mail-Anhang an
georg.hundenborn(at)t-online.de

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Für mich ist es einfacher das Sektglas um
90 ° drehen und dann wie gewohnt das Glas
um die x-Achse rotieren zu lassen.

Das hat der Autor der Aufgabe schon gemacht.

Answer 1

eines Sektglases mithilfe einer Parabel vom Typ f(x) = a*x2 über dem Intervall [0;16]

Ich vermute die Angaben sind in Millimetern. Ich glaube nicht an ein Sektglas mit Radius 16 cm,

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel.

Setze einen Punkt, von dem du weißt, dass er auf der Parabel liegt, in die Gleichung

        y = ax²

ein. Löse nach a auf. Setze die Lösung in die Gleichung

        f(x) = ax²

ein. Ergebnis ist die Gleichung der Parabel.

Comments

Vielen Dank schon einmal. Aufgabe a konnte ich nun komplett Lösen. Werde jetzt weitermachen.

Aber ich muss dich enttäuschen in der Aufgabenstellung steht x in cm :D

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1. Ich glaube nicht an ein Sektglas mit Radius 16 cm
und ein Sektglas mit der von dir angegebenen Form habe ich überhaupt noch nicht gesehen.

2. Warum berücksichtigst du   wo die Flüssigkeit bei x = 6 beginnt   nicht ?

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Leider kann ich mir echt keinen Reim darauf machen. Könntest du mir eventuell kurz erläutern, wie du auf "f(x) = f(16) - 10." gekommen bist?

f(16) ist 3, da wäre das Ergebnis -7. Wenn ich f(x) = 3 - 10 im Taschenrechner eingeben, motzt er es gäbe keine Lösung.

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wie du auf "f(x) = f(16) - 10." gekommen bist?

o hat die Lage der Koordinatenachsen nicht berücksichtigt.

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wie du auf "f(x) = f(16) - 10." gekommen bist?

Ich bin davon ausgegangen, dass das Sektglas durch eine Rotation der Parabel um die y-Achse zustande kommt.

f(16) ist 3

Das gehört in den Abschnitt Aufgabe, nicht in den Abschnitt Problem/Ansatz. Deshalb habe dem Satz keine für den Lösungsweg relevant Bedeutung zugemessen.

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f(16) = 3 kam erst durch Aufgabe a) heraus. Steht also nicht in der Aufgabenstellung oder so.

Nein tut mir leid, es handelt sich um eine Rotation um die x-Achse, das habe ich leider vergessen zu erwähnen.

Answer 2

f ( x ) = a * x^2
3 = a * 16^2
a = 3 / 256

f ( x ) = 3 / 256 * x^2

r ( x ) = 3/256 * x ^2
Fläche
A ( x ) = [ f ( x ) ] ^2 * pi
A ( x ) = ( 3 / 256 * x^2 ) ^2 * pi
A ( x ) = 9 / 65536 * x^4 * pi
Stammfunktion
S ( x ) = 9 / ( 65536 * 5 ) * x^5 * pi

[ S ] zwischen  6 und 15
V = 64.85 cm^3

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