Aloha :)
Wir bestimmen zunächst aus der Dichtefunktion \(f(x)\) die Verteilungsfunktion \(F(x)\):
$$F(x)=\int\limits_0^x0,0066\cdot e^{-0,0066\,t}\,dt=\left[-e^{-0,0066\,t}\right]_{t=0}^x=-e^{-0,0066\,x}-(-e^0)$$$$\underline{F(x)=1-e^{-0,0066\,x}\quad;\quad x\ge0}$$Damit können wir die folgenden Fragen beantworten.
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Arbeitsloser genau 334 Tage benötigt, um eine Anstellung zu finden, ist theoretisch gleich null, weil wir zur Anwendung einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. Verteilungsfunktion immer ein Intervall benötigen. Praktisch rechnet man in solchen Fällen mit der sog. "Stetigkeitskorrektur" und sagt, dass er 334 Tage benötigt, wenn er mindestens 333,5 Tage und höchstens 334,5 Tage benötigt. Damit haben wir nun einen Zeitraum und können die Wahrscheinlichkeit berechnen:$$P(333,5\le X\le334,5)=F(334,5)-F(333,5)=0,0728\%$$Hier bei der Eingabe aber bitte aufpassen. Es kann auch sein, dass die Lösung \(0\%\) gemeint ist, je nach dem, ob die Stetigkeitskorrektur angewendet werden soll oder nicht. Wenn ihr die Stetigkeitskorrektur im Unterricht noch nicht hattet, würde ich \(0\%\) eingeben.
b) Nicht mehr als 75 Tage bedeutet maximal 75 Tage:$$P(X\le75)=F(75)=39,0429\%$$
c) Hier müssen wir eine Gleichung lösen:$$\left.0,77\stackrel{!}{=}F(x)=1-e^{-0,0066\,x}\quad\right|\;-1$$$$\left.-0,23=-e^{-0,0066\,x}\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.e^{-0,0066\,x}=0,23\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.-0,0066\,x=\ln(0,23)\quad\right|\;:(-0,0066)$$$$\left.x=\frac{\ln(0,23)}{-0,0066}=222,6782\quad\right.$$Hier musst du eventuell bei der Eingabe auf ganze Tage runden, also \(223\).
d) Den gesuchten Mittelwert \(\langle X\rangle\) bestimmen wir mit der Dichtefunktion:
$$\langle X\rangle=\int\limits_0^\infty x\,f(x)\,dx=0,0066\int\limits_0^\infty\underbrace{ x}_{=u}\,\underbrace{e^{-0,0066x}}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{\langle X\rangle}=0,0066\left(\underbrace{\left[\underbrace{ x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{e^{-0,0066x}}{-0,0066}}_{=v}\right]_0^\infty}_{=0}-\int\limits_0^\infty\underbrace{ 1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{-0,0066x}}{-0,0066}}_{=v}dx \right)$$$$\phantom{\langle X\rangle}=\int\limits_0^\infty e^{-0,0066x}dx=\left[\frac{e^{-0,0066x}}{-0,0066}\right]_0^\infty=0-\frac{1}{-0,0066}=151,\overline{51}$$Auch hier musst du bei der Eingabe eventuell wieder auf ganze Tage runden, also \(152\).
