Was ist der Grenzwert von lim->0 (1/x)sinx?

Question

Aufgabe: Was ist der Grenzwert von lim->0     (1/x)^sinx ? 

Problem/Ansatz:

Wäre lieb, wenn es jemand mir kurz erklären könnte, da ich die Lösung nicht ganz verstehe und wieso der Fall 0*unendlich hier gilt?

Comments

Deine Überschrift fragt nach \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}\sin(x)\). Im Fragetext schaut es so aus, als würdest du \(\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}\right)^{\sin(x)}\) suchen.

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Sorry, ja ich suche (1/x)^sinx

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Das ist dann eher ein \(\infty ^0\)-Fall.

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Wieso, könntest du es kurz bitte erklären  wie man die Aufgabe angeht?

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Mit diesen verketteten Limites habe ich auch immer Schwierigkeiten. Ich würde in diesem Fall versuchen \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\sin(x)}\) als \(\exp (\ln(1/x)\sin(x))=\exp(-\ln(x)\sin(x))\) zu schreiben. Du kannst den Limes-Operator, weil \(\exp\) folgenstetig ist, in die Funktion "hineinziehen", also:$$\exp\left(\lim_{x\to 0}-\ln(x)\sin(x)\right)$$ berechnen.

Hierbei kannst du auf \(\lim_{x\to 0}-\ln(x)\sin(x)\) die Regel von L'Hopital anwenden, vielleicht sogar zwei mal. Ist aber nur eine Idee, vielleicht geht es mit einer schönen Abschätzung und dann mittels Einschließungskriterium eleganter, da gibt es auch immer ein paar Trickser hier.

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Ok , dankeschön:)

Answer 1

Sei \( f(x) = \left( \frac{1}{x} \right)^{\sin(x)} \) dann gilt $$ \ln(f(x) = \sin(x) \ln\left( \frac{1}{x} \right) = \frac{\ln\left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{\sin(x)}} $$ Auf Auf $$ \frac{\ln\left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{\sin(x)}}  $$ L'Hospital anwenden ergibt

$$ \frac{ \sin(x) }{ x } \tan(x) $$ und daraus $$ \lim_{x\to 0} \frac{ \sin(x) }{ x } \cdot \lim_{x\to 0} \tan(x) = 0  $$ und deshalb $$ \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{x} \right)^{\sin(x)} = 1 $$