Existiert der Grenzwert lim x^y, (x,y) -> (0,0), x,y >= 0?

Question

Aufgabe:

Existiert der Grenzwert lim x^y, (x,y)->(0,0), x,y>=0? Wenn ja, berechne diesen.

Ansatz:

Ich denke der Grenzwert existiert und ist 1, da ja x^y = e^(ylnx) und y*lnx geht ja gegen 0 und e^0 ist 1.

Stimmt das?

Comments

Deine Argumentation ist jedenfalls nicht "wasserdicht". Du schreibst:

y*lnx geht ja gegen 0

Das ist aber nicht klar, denn für x gegen 0  (mit x > 0)

strebt ja der Wert von ln(x) gegen  - ∞  !

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Aber gehen x und y nicht irgendwie "gleichmäßig" gegen 0, oder kann ich auch erst x gegen 0 und danach erst y gegen 0 laufen lassen?

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Aber gehen x und y nicht irgendwie "gleichmäßig" gegen 0, oder kann ich auch erst x gegen 0 und danach erst y gegen 0 laufen lassen?

Für die Existenz des gefragten Grenzwertes müssten sich x und y absolut unabhängig voneinander gegen 0 bewegen können.

Betrachten wir einmal die Folge der Zahlenpaare  (x_k , y_k)  mit  x_k = e^-k  und  y_k = 1/k  , wobei  k∈ℕ . Es gilt x_k > 0 und y_k > 0  sowie  x_k → 0  und  y_k → 0  für  k  → ∞ .

Aber  x_k ^yk   =  (e^-k) ^(1/k) =  e^-1 ≠ 1

Damit wird klar, dass der gefragte Grenzwert nicht existieren kann.

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Vielen Dank!