Für welche Zahlen a existiert der Grenzwert lim floor(x) mit x -> a

Question

Lösung:

Ich versuche die Lösung zu verstehen.

Fall 1 ist für nicht ganzzahlige und es gilt k < a < k + 1 und deshalb auch k < xn < k+1 mit xn->a ffa. n. richtig?

 Fall 2 ist für ganzzahlige und es gilt a=k. Jetzt wähle ich eine beliebige folge die gegen k konvergiert. Z.B. xn = k + 1/n mit lim xn -> k (n->unendl.) und zeige dass lim floor(xn) n->unendl. existiert.

 Und ist dieser nicht k und existiert damit (in der Lösung steht dass der Grenzwert nicht existiert)? Ja und warum gibt es jetzt noch das (-1)^n? Wenn n->unendl fällt doch die - 1 eh weg oder nicht?

Answer 1

1.Fall:

Du hast eine Folge x_n die gegen a konvergiert, mit k<a<k+1. Das heißt doch, ab einem bestimmten n ist die Folge x_n dem Wert a beliebig nahe. Wegen der Gauss'schen Klammer ist dann der Grenzwert gerade k und existiert.

2.Fall:

Jetzt ist a = k. Nun habt ihr eine Folge konstruiert, die wieder gegen a, also k , konvergiert. Dieses Folge hat die Eigenart, dass sie für gerade n rechts von a, für ungerade n links von a liegt. Deswegen das (-1)ⁿ. Setzt man diese Folge jetzt in die Gauss'sche Klammer ein, so erzeugt die Gauss-Klammer k-1  für ungerade Werte und k für gerade Werte.

Wir haben also zwei Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten, also hat existiert der Grenzwert nicht.