Sei \( \Sigma:=\left\{\vec{x} \in \mathbb{R}^{n} | \vec{x}^{T} A \vec{x}+\vec{e}^{T} \vec{x}+f=0\right\}, \) wobei \( A \) eine reguläre \( (\operatorname{det}(A) \neq 0) \)
symmetrische \( n \times n \) Matrix, \( \vec{e} \in \mathbb{R}^{n} \) ein konstanter Vektor und \( f \in \mathbb{R} \) sind. Zeigen Sie, dass eine Drehung \( R \in \mathbb{R}^{n \times n} \) und eine Translation \( \vec{c} \in \mathbb{R}^{n} \) existieren, so dass die einer Bewegung (Formerhaltende Transformation) entsprechende
$$ \begin{array}{l} \text { Substitution } \vec{x}=R \tilde{\vec{x}}+\vec{c} \\ \qquad Q(\vec{x})=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(\tilde{x^{i}}\right)^{2}+\tilde{f}=: \tilde{Q}\vec{\tilde{x}}) \end{array} $$
gibt, womit \( \Sigma \) auch geschrieben werden kann als \( \left\{\tilde{\vec{x}} \in \mathbb{R}^{n} | \sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i}\left(\tilde{x^{i}}\right)^{2}+\tilde{f}=0\right\} \)
