Grenzwerte, Stetigkeit und Ableitung für g(x) = 1 / (x²-1)

Question

Folgende Funktion ist gegeben:
$$ g ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 } $$

a) Wie lauten der links- und der rechtsseitige Grenzwert?
$$ \lim _ { x \mapsto 1 ^ { - } } g ( x ) \text { und } \lim _ { x \mapsto 1 ^ { + } } g ( x ) $$

b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion g(x). Benutzen Sie hierzu die Ergebnisse der vorherigen Teilaufgabe, die Grenzwerte und die Symmetrie der Funktion.
$$ \lim _ { x \mapsto \infty } g ( x ) \text { und } \lim _ { x \mapsto - \infty } g ( x ) $$

c) Damit der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle x₀ definiert ist, muss für jede Folge (aus dem Definitionsbereich der Funktion), die gegen x₀ konvergiert und x₀ selbst nicht als Folgenglied enthält, auch die entsprechende Folge der Funktionswerte konvergieren (siehe Grenzwert-Definition). Geben Sie für x₀= 2 exemplarisch eine solche Folge (x_n)n∈ℕ aus dem Definitionsbereich von g an und zeigen Sie, dass die entsprechende Folge der Funktionswerte (f_n)n∈ℕ mit f_n=g(x_n) gegen g(2) konvergiert.

d) Existieren?
$$ \lim _ { x \mapsto 2 } g ( x ) \text { und } \lim _ { x \mapsto l } g ( x ) $$

e) Ist diese Funktion stetig? Ist die Funktion stetig auf ihrem Definitionsbereich?
$$ x \mapsto g ( x ) = \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 } $$


f) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t(x) an der Stelle x₀ = 2 für die Funktion g(x) und tragen Sie diese mit in die Skizze aus (b) ein.


Lösungsvorschläge:

zu a) Egal welchen Minuswert ich einsetze, ob -2, -3 oder -13. Alle geraden und ungeraden Zahlen zum Quadrat werden wieder positiv. Wenn man -1 für x im Nenner einsetzt, dann kommt 0 raus. Ich denke das wäre der Linkswertige Grenzwert. Und beim positiven Limes ist es genauso, denn setzt man 1 für x im Nenner ein kommt 0 ebenfalls raus.

zu b) 


Symmetrie: Entlang der y-Achse erkennt man eine Spiegelsymmetrie. g(x)=g(-x)

d) Ja, diese Grenzwerte existieren. Aber auf der Skizze ist es nicht zu erkennen...

e) stetig
DB: ℝ

f) t(x)=1/3
Oder muss man die 1. Ableitung von g(x) bilden?
u*v'+u'*v/v²

1*2x+0*x²+1/(x²+1)²

$$ g ^ { \prime } ( x ) = \frac { - ( 2 x ) } { \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } } $$

Sind meine Ansätze korrekt? Wo sind Verbesserungen notwendig?

Answer 1

Hi,

ich mach mal was ich kann:

a)

g(x) = 1/(x²-1) = 1/((x-1)(x+1))

 

Grenzwert bestimmen:

 

$$\lim_{x\to-1^-} g(x) = \infty$$

$$\lim_{x\to-1^+} g(x) = -\infty$$

$$\lim_{x\to1^-} g(x) = -\infty$$

$$\lim_{x\to1^+} g(x) = \infty$$

 

Das kann man leicht mit der "h-Methode" machen. Oder mit dem TR, indem man kleine Werte einsetzt (deswegen habe ich den Nenner faktorisiert. Dann "sieht" mans eigentlich direkt).

b) Skizze passt

c) Dem kann ich nicht ganz folgen

d) Der erste Grenzwert existiert. Der zweite nicht. Es muss rechts und linksseiter Grenzwert übereinstimmen. Bei x = 1 ist das nicht Fall (siehe a))

e) Der Defintionsbereich ist nicht ℝ, sondern D = ℝ\{-1;1} und darauf ist g(x) stetig.

f) Das überlasse ich Dir. Das ist nicht weiter schwierig. Du hast die richtige Ableitung genannt, bestimme also g'(2) = m. Dann setze noch den bekannten Punkt P(2|g(2)) und Du erhältst auch b aus y = mx+b ;).

 

Grüße

Comments

Hi Unknown,

vielen Dank für deine Unterstützung. Du erklärst es immer gut und stellst alles schön übersichtlich dar. So macht Mathematik lernen Spaß (Aha-Effekt). Ich habe mich an der f) Aufgabe versucht und eine Graphik hochgeladen. Wenn, etwas nicht stimmen sollte, dann kannst du mich korrigieren.





 

PS:
g(x)
g'(x)
y=mx
Punkt

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Danke für die freundlichen Worte und gerne :).

Das rote soll die Tangente sein? Offensichtlich kann das nicht sein, das müsste ja an A anliegen.

g'(2) = m

Setze also in den letzten Kommentar von Dir 2 ein und erhalt so m.


Für b (aus y = mx+b) braucht es etwas mehr Arbeit. Hier musst Du erst g(2) bestimmen und dann die Gleichung nach b auflösen, wobei x und y aus P(2|g(2)) kommen.

Willste es nochmals selbst probieren?! :)

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Ich bin für den heutigen Abend vollens weg. Zur Kontrolle:

g'(2) = -4/9 = m

g(2) = 1/3

 

Somist y = -4/9x + b

Dann P(2|1/3) einsetzen:

1/3 = -4/9*2+b

-> b = 11/9

 

--> t(x): y = -4/9*x+11/9

Sieht dann so aus:

 

Grüße und bis späters :)

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Aha, jetzt macht es natürlich einen Sinn! Denn ich habe mich schon gewundert, warum die Tangente nicht den Punkt schneidet. -4/9 habe ich auch ausgerechnet. Der Fehler war, dass ich y=(-4/9)x gezeichnet habe. Das tolle ist, dass ich jetzt den Algorithmus lernen kann, also wie man Schritt für Schritt die Tangentengleichung berechnet.





PS: Vielleicht hast du die Aufgabe über Lineare Iterierte Abbildung über Guthaben gesehen, die ich ebenfalls reingesetzt habe. Es ist die letzte Aufgabe und ich habe nur noch bis morgen Zeit, da Dienstagvormittag der Abgabetermin der 6 Aufgaben ist. Ich würde mich sehr freuen, wenn du Zeit hättest, die Aufgabe kurz anzusehen, vielleicht hast du einen Ansatz oder eine Idee wie man bei Iterationsfunktionen vorgeht.

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Freut mich, wenn ich helfen konnte.


Und sry, in dem Themengebiet kenne ich mich zu wenig aus um eine sichere Antwort geben zu können. Eventuell schaut noch jemand anderes rein :).