Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir schreiben den Funktionsterm zunächst etwas um:
$$f(x)=\frac{7x+7}{3x-18}=\frac{7x\,\overbrace{-\,42+49}^{=+7}}{3x-18}=\frac{7x-42}{3x-18}+\frac{49}{3x-18}=\frac{7(x-6)}{3(x-6)}+\frac{49}{3x-18}$$$$f(x)=\frac73+\frac{49}{3(x-6)}$$
zu a) Der Nenner wir für \(x=6\) zu Null. Dort liegt also eine Unstetigkeit vor.
zu b) Der links- und rechtsseitige Grenzwer lauten:$$\lim\limits_{x\nearrow6}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow6}\left(\frac73+\frac{49}{3(x-6)}\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\left(\frac73+\frac{49}{-3h}\right)=-\infty$$$$\lim\limits_{x\searrow6}f(x)=\lim\limits_{x\searrow6}\left(\frac73+\frac{49}{3(x-6)}\right)=\lim\limits_{h\searrow0}\left(\frac73+\frac{49}{3h}\right)=+\infty$$
zu c) Die Funktion hat keine hebbare Lücke, weil an der einzigen kritiscchen Stelle \(x=6\) nur der Nenner, nicht aber der Zähler zu \(0\) werden.
zu d) An der Stelle \(x=6\) liegt eine Polstelle ungerader Ordnung vor.
~plot~ (7x+7)/(3x-18) ; x=6 ; [[-4|10|-50|50]] ~plot~
