Grenzwerte und Stetigkeit. fa(x)= √(x-2) - √(ax+7) , für x≥2 usw.

Question

Sei α>=0 ein reeller Parameter. Sei

Comments

Bei a) Hast du es nur mit einer Differenz von Wurzeln zu tun.

Da kannst du einen Bruch (Nenner 1) hinschreiben und mit der 3. binomischen Formel erweitern. 

Answer 1

aus Faulheit benutze ich $a$ anstatt $\alpha$:

a) Implizit geht hervor, dass $a \geq 0$ sein muss.

$$\lim \limits_{x \to \infty} f_a(x) = \lim \limits_{x \to \infty} \sqrt{x} \left( \sqrt{1-\frac{2}{x}} - \sqrt{a+\frac{7}{x}}\right) = \begin{aligned}\begin{cases} -\infty&, a > 1\\ 0&, a = 1 \\ \infty&, 0 \leq a < 1 \end{cases}\end{aligned}$$

Ich habe die obige Darstellung zur einfachen Übersicht hingeschrieben. Für den Fall $a = 1$ müsste man für einen echten Nachweis anders vorgehen, bspw. so wie Lu es in seinem Kommentar beschreibt.

b) Nullstellen kriegst du bestimmt selbst hin.

c) Setze links- und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle  $x_0=2$ gleich und bestimme $a$ aus der Gleichung. 

d) Zeichnen kriegst du auch so hin.

Gruß