Bestimmen Sie den Koeffizienten

Question

Aufgabe:

Siehe im Bild

Problem/Ansatz:

Grundsätzlich verstehe ich wie ich die Aufgabe berechnen muss, jedoch bin ich jetzt verwirrt.

Ich ging immer davon aus das z.b wie bei der a das c^4 gesucht ist und somit k=4 ist.

Mit der Denkweise bin ich davon ausgegangen das bei der b k=7 ist weil c7 gesucht ist.

In der Lösung Stande das bei der a k=4 richtig ist, jedoch war bei der b k nicht 7 sonder k=3.

wie kommt man auf k=3? Wieso ist bei der a k=4 und bei der b k=3 und nicht k=7? Kann man das irgendwie berechnen ich bin total verwirrt.

Aufgabe:

(a) Bestimmen Sie den Koeffizienten \( c_{4} \) vor \( x^{4} \) im Term \( \left(\frac{1}{2} x+1\right)^{12} \)

(b) Bestimmen Sie den Koeffizienten \( c_{7} \) vor \( x^{7} \) im Term \( (4-2 x)^{10} \)

Answer 1

Bei b) enthält dder zweite Operand des Binoms das x.

Comments

Ich nehme an, du hast diese Formel benutzt: $$\left(a+b\right)^n=\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}$$Dann ist \(k=7\) sicher richtig. Manchmal benutzt man noch die Gleichung $$\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n\\n-k \end{pmatrix}.$$ Das hätte man hier auch lassen können.

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In der Lösung ist jedoch k=3

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Was steht denn genau in der Lösung?

Answer 2

(1/2x+1)¹²=(x+2)¹²/2¹²=1/2¹²·(X¹²  + 24·x¹¹  + 264·x¹⁰  + 1760·x⁹  + 7920·x⁸  + 25344·x⁷  + 59136·x⁶  + 101376·x⁵  + 126720·x⁴  + 112640·x³  + 67584·x²  + 24576·x + 4096).  

Answer 3

Aloha :)$$\left(\frac{1}{2}x+1\right)^{12}=\overbrace{\left(\frac{1}{2}x+1\right)\cdot\left(\frac{1}{2}x+1\right)\cdots\left(\frac{1}{2}x+1\right)}^{\text{12 Faktoren}}$$ Um den \(x^4\)-Term zu erhalten, müssen wir beim Ausmultiplizieren aus genau 4 von den 12 Faktoren \(\frac{1}{2}x\) auswählen. Die anderen 8 Faktoren sind dann \(1\)en. Daher lautet der \(x^4\)-Term:$$c_4x^4=\binom{12}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}x\right)^4\cdot1^8=\frac{495}{2^4}\,x^4\quad\Rightarrow\quad c_4=\frac{495}{16}=30,9375$$

$$\left(4-2x\right)^{10}=\overbrace{\left(4-2x\right)\cdot\left(4-2x\right)\cdots\left(4-2x\right)}^{\text{10 Faktoren}}$$ Um den \(x^7\)-Term zu erhalten, müssen wir beim Ausmultiplizieren aus genau 7 von den 10 Faktoren \((-2x)\) auswählen. Die anderen 3 Faktoren sind dann \(4\)en. Daher lautet der \(x^7\)-Term:$$c_7x^7=\binom{10}{7}\cdot\left(-2x\right)^7\cdot4^3=120\cdot(-2)^7\cdot4^3\,x^7\quad\Rightarrow\quad c_7=\frac{495}{16}=-983\,040$$