Für welches a existiert in der x-y Koordinatenebene ein Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist?

Question

Aufgabe:

Punkt auf einer Ebene so bestimmen,dass sich ein Parallelogramm ergibt

Problem/Ansatz:

Aufgabe:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die punkte A(a^2;1;2)
B(5;1;a) und C(3;2;4)
Für welches a existiert in der x-y Koordinatenebene ein Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist?

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D.

C) untersuchen Sie, ob es Werte a gibt, für die der Vektor AB den Betrag 5 hat

Ich habe leider noch keinen Ansatz und wäre für jede Hilfe dankbar!

Answer 1

Falls \(AC\) die Diagonale des Parallelogramms werden soll, muss für den gesuchten Punkt \(D\) gelten: $$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$ Bei anderer Wahl der Diagonalen gilt entsprechendes. Bei der gegebenen Aufgabe darf dies wohl als bekannt vorausgesetzt werden, sodass sich die Herleitung erübrigt.

Comments

Aber die koordinaten von A und B sind nicht vollständig angegeben.

Müsste ich nicht erstmal a herausfinden?

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Das ist richtig. Da der Punkt \(D\) aber in der xy-Ebene liegen soll, muss z=0 sein und damit kannst du zunächst a bestimmen, bevor du dann \(D\) ausrechnest.

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Das habe ich mir auch gedacht a müsste 0 sein wenn er in der x-y Ebene liegen soll.

Aber in den Lösungen steht, dass a = 6 ist und ich kann mir nicht herleiten wieso es so ist.

Ist die x-y koordinaten nicht dadurch gekennzeichnet das die z koordinaten alle 0 null sind?

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Die z-Komponente des Ortsvektors von D muss 0 sein, also gilt:

Diagonale AC: \(2-a+4=0\quad\Rightarrow\quad a=6\)

Diagonale BC: \(-2+a+4=0\quad\Rightarrow\quad a=-2\)

Diagonale AB: \(\left(\dots\right)\)