Extremstellen - 2 Ableitung

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten sie meine Rechnung bitte kontrollieren und gegebenenfalls korrigieren?

Es ist die Funktion f (x) = x³ - 12x gegeben - nun sollen die Extrempunkte der Funktion über die 2. Ableitung berechnet werden.

Dafür habe ich unten bereits meine Vermutung geäußert - könntet ihr bitte das Ergebnis kontrollieren/korrigieren und mir sagen, ob meine Erklärungen - sofern das Ergebnis richtig ist - sinnvoll und verständlich sind?

Vielen Dank!

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre wie folgt - zunächst bilde ich die zwei Ableitungen.

f'(x) = 3x² - 12

f''(x) = 6x

Daraufhin ermittle ich die notwendige Bedingung - ich setzte die erste Ableitung f'(x) = 0 (3x² - 12 = 0).

Hierbei kommen die Nullstellen 2 und -2 heraus - diese werden nun in die zweite Ableitung eingesetzt.

f''(2) = 6 • 2 = 12 > 0 (lok. Minimum)

f''(-2) = 6 • -2 = -12 < 0 (lok. Maximum)

Daraufhin setze ich letztlich die ermittelten Nullstellen der Ableitung (s. notw. Bedingung, 2 & -2) in die Ausgangsfunktion f (x):= x³ -12x

f(2) = 2³ - 12 • 2 = -16 | Tiefpunkt T (2|-16)

f(-2) = -2³ - 12 • -2 = 16 | Hochpunkt H (-2|16)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Extremstellen - hinreichende Bedingung

Stichworte: bedingungen,ableitung,extrempunkte,funktion,bedingung

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten sie meine Rechnung bitte kontrollieren und gegebenenfalls korrigieren?

Es ist die Funktion f (x) = x³ - 12x gegeben - nun sollen die Extrempunkte der Funktion über die 2. Ableitung berechnet werden.

!!! Nachdem ich die notwendige Bedingung ermittelt habe, setze ich die Nullstelle in die 2 Ableitung ein.      Handelt es sich beimdbeim Einsetzen der Nullstelle in die 2. Ableitung um die hinreichende Bedingung?

Vielen Dank!

Answer 1

Alles OK. :)

TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

Answer 2

Notwendig → 1. Ableitung gleich null

Hinreichend → 1. Abl. null und 2. Abl. größer oder kleiner als null.

Answer 3

Funktion & Ableitungen

f(x) = x^3 - 12·x

f'(x) = 3·x^2 - 12

f''(x) = 6·x

Nullstellen f(x) = 0

x^3 - 12·x = x·(x^2 - 12) = 0 --> x = 0 ∨ x = ± √12

Extrempunkte f'(x) = 0

3·x^2 - 12 = 0 --> x = ± 2

f(2) = 2^3 - 12·2 = -16 → TP(2 | -16)

f(-2) = 16 → HP(-2 | 16) aufgrund der Punktsymmetrie

Wendepunkte f''(x) = 0

6·x = 0 → x = 0

f(0) = 0 → WP(0 | 0)

Comments

Danke - die Rechnung besitze ich aber bereits.

Meine Frage richtete sich an den Schritt f''(2) bzw. f"(-2) - handelt es sich hierbei um die hinreichende Bedingung?

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Monty hat es richtig erklärt.

Er hätte zum besseren Verständnis noch das Wort

und 

hervorheben können.

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f''(2) = 6·2 = 12 > 0

Da die zweite Ableitung hier größer Null ist ist der Graph linksgekrümmt und hat deswegen einen Tiefpunkt.

Allerdings verschweigen Lehrer immer wieder, dass man getrost bei ganzrationalen Funktionen auf die hinreichende Bedingung verzichten kann.

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@abakus

Ist jetzt fett gedruckt.    :-)

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Allerdings verschweigen Lehrer immer wieder, dass man getrost bei ganzrationalen Funktionen auf die hinreichende Bedingung verzichten kann.

Bitte setze hier nicht solche leichtsinnigen Parolen in die Welt.

Bei mehrfachen Nullstellen der ersten Ableitung kommen ungeübte Schüler böse ins Schleudern.

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Bei mehrfachen Nullstellen der ersten Ableitung kommen ungeübte Schüler böse ins Schleudern.

Nur wenn ihnen die Vielfachheiten von Nullstellen nicht wirklich erklärt werden. Das liegt aber auch zum großen Teil an einigen Lehrbüchern, die darum auch einen großen Bogen machen.

Und ungeübte Schüler kommen auch eventuell Böse ins Schleudern wenn die zweite Ableitung für die hinreichende Bedingung bei Extremstellen auch Null ist.