Aloha :)
Wir suchen die Extremstellen der folgenden Funktion:$$f(x)=-2x^2-16x+15$$Die Ableitung \(f'(x)\) einer Funktion \(f(x)\) gibt die Steigung der Funktion an der Stelle \(x\) an. Wenn die Ableitung positiv ist, also \(f'(x)>0\), steigt die Funktion an. Wenn die Ableitung negativ ist, also \(f'(x)<0\), fällt die Funktion ab. An einer Extremstelle (Hoch- oder Tiefpunkt) muss also das Vorzeichen der Ableitung wechseln. Insbesondere muss die Ableitung an einer Extremstelle \(=0\) sein.
Wir bilden also die erste Ableitung der Funktion und bestimmen deren Nullstellen:$$f'(x)=-4x-16\stackrel!=0\quad\implies\quad x=-4$$Bei der Stelle \(x=-4\) hat der Graph den Punkt \(E(-4|47)\). Das ist unser Kandidat für einen Extrempunkt.
Wir prüfen nun, wie sich die Steigung der Funktion links von \(x=-4\) und rechts davon verhält. Dazu setzen wir in die erste Ableitung einen Wert ein, der etwas kleiner ist als \(x=-4\) bzw. etwas größer ist als \(x=-4\).
$$\text{linke Seite:}\quad f'(-4,1)=0,4>0$$$$\text{rechte Seite:}\quad f'(-3,9)=-0,4<0$$Links von \(x=-4\) ist die Ableitung positiv, also steigt die Funktion dort an. Rechts von \(x=-4\) ist die Ableitung negativ, also fällt die Funktion dort ab. Bei \(x=-4\) muss also ein Hochpunkt liegen.$$E(-4|47)\quad\text{ist ein Hochpunkt}$$
~plot~ -2x^2-16x+15 ; {-4|47} ; [[-9|2|0|48]] ~plot~
