Beweisen sie mit der Induktion, das dies gilt

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 0 \) erfüllt ist:
$$ \left(\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=\right) 1+2+4+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1 $$

 Hallo liebe Leute, Ich weiß, wie die Induktion verläuft, außer für die Induktionsannahme.

Soll ich jetzt für die IA n =0 nehmen oder n = 1? Ich habe mit n=1 ausprpbiert und die IA stimmt nicht überein. Also gehe ich davon aus, dass ich für die IA n=0 nehmen muss Oder??

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Ich habe das so gemacht. Den IS habe ich nicht fertig. Könnt ihr mir weiter helfen?

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Hallo liebe Leute, Ich weiß, wie die Induktion verläuft, außer für die Induktionsannahme

Das wage ich zu bezweifeln.

IA steht nicht für Induktionsannahme, sondern für den Induktionsanfang

Du solltest außerdem für n =1 nochmal nachrechnen:

2^0+2^{1}=3

2^{1+1}-1 =3

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Ahh ich weiß wo mein fehler lag.

Also gehört das auch noch zur rechten Gleichung?? wie im Bild?

Answer 1

Wenn du zeigen sollst das es für n >= 0 gilt dann nimmst du für die Induktionsannahme, das kleinste n für das es gelten soll. In diesem Fall n = 0.

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Danke für den Tipp! ;)

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Zu zeigen:
∑ (k = 0 bis n) (2^k) = 2^(n + 1) - 1

Induktionsanfang n = 0
∑ (k = 0 bis 0) (2^k) = 2^(0 + 1) - 1
2^0 = 2^1 - 1
1 = 1
wahr

Induktionsschritt n → n + 1
∑ (k = 0 bis n + 1) (2^k) = 2^((n + 1) + 1) - 1
∑ (k = 0 bis n) (2^k) + 2^(n + 1) = 2^(n + 2) - 1
2^(n + 1) - 1 + 2^(n + 1) = 2^(n + 2) - 1
2·2^(n + 1) - 1 = 2^(n + 2) - 1
2^(n + 2) - 1 = 2^(n + 2) - 1
wahr

Answer 2

Ab der fünftletzten Zeile sind die Exponenten zu Faktoren geworden, also mal (falsch) statt hoch (richtig).