Bestimmen Sie die Extrema und Extremstellen der Funktion f(x, y, z) := x^2 + 3y^2 + 2z^2 über der

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Extrema und Extremstellen der Funktion f(x, y, z) := x^2 + 3y^2 + 2z^2 über der
Schnittgeraden der Ebenen x + 3y = 30 und y + 2z = 20.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand erklären, wie man diese Frage richtig löst?

Comments

Ist das die Original-Aufgabestellung? Mir ist nicht ganz klar, was gemacht werden soll.  Ist das vielleicht eine Optimierungsaufgabe mit zwei Nebenbedingungen?

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Ja.

 Das ist ein Extrema und Extremstellen Aufgabe mit Gleichungsnebenbedingungen durch Einsetzen.

Answer 1

Hallo,

sollte ich zuerst die schnitt geraden der beiden  Ebenen berechnen?

Das ist nicht notwendig. Stelle die Lagrange-Gleichung auf, leite diese nach \(x\), \(y\) und \(z\) ab, eliminiere die \(\lambda\)-Werte $$f(x,y,z) = x^{2} + 3y^{2} + 2z^{2}\\ \text{NB.:} \quad x + 3y = 30; \quad y + 2z = 20\\ L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = x^{2} + 3y^{2} + 2z^{2} + \lambda_1(x + 3y -30) + \lambda_2(y + 2z - 20) \\ \frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda_1= 0 \implies \lambda_1 =  -2x\\ \frac{\partial L}{\partial y} = 6y + 3 \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \implies \lambda_2 = 6x-6y\\ \frac{\partial L}{\partial z} = 4z + 2\lambda_2 = 0 \implies 4z +12x - 12y = 0\\ \implies z = 3y-3x $$und setzte das Ergebnis wieder in die Nebenbedingung ein:

$$ y + 2(3y - 3x) = 20 \implies 7y - 6x - 20 = 0\\ 7y - 6(30-3y) - 20 = 0 \\ 7y - 180 + 18y - 20 = 0 \\ 25y = 200 \\ y = 8, \implies x = 6, \implies z=6  $$Das Extrema liegt also bei \((6;8;6)\) und es handelt sich um ein Minimum (gefolgert aus der Anschauung; s. Antwort von Abakus)

Comments

wie kommt man auf λ2= 6x-6y und 4z+12x-12y, und z=3y-x =20 und 7y-6x-20

und z= 3y-3x  brauche den Rechenweg sonst aber alles klar

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Bitte um Hilfe

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Werner könntest du mir helfen bin am verzweifeln

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wie kommt man auf λ2= 6x-6y und 4z+12x-12y, und z=3y-x =20 und 7y-6x-20

aus der Ableitung nach \(x\)$$ \frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda_1= 0$$folgt $$\lambda_1 =  -2x$$das setzt man in die Ableitung nach \(y\) ein$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial y} = 6y + 3 \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ 6y + 3 \cdot (-2x) + \lambda_2 = 0 \\ 6y -6x + \lambda_2 = 0\end{aligned}$$und daraus läst sich \(\lambda_2\) isolieren$$\lambda_2 = 6x-6y$$und das so gewonnene \(\lambda_2\) setzt man in die Ableitung nach \(z\) ein$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial z} = 4z + 2\lambda_2 &= 0 \\ 4z + 2(6x-6y) &= 0 &&|\, \div 4 \\ z + \frac 12(6x-6y) &= 0\\ z + 3x - 3y &= 0 &&|\, +3y-3x \\ z &= 3y-3x\end{aligned}$$Die Nebenbedingungen lauten$$ x + 3y = 30 \\ y + 2z = 20$$den oben gewonnenen Wert für \(z\) setze ich in die zweite Nebenbedingung ein$$x + 3y = 30 \\ y + 2(3y-3x) = 20$$Somit erhält man zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten \(x\) und \(y\). Die zweite Gleichung etwas vereinfachen$$\begin{aligned}  y + 2(3y-3x) &= 20 \\ y + 6y - 6x &= 20 \\ 7y - 6x &= 20 &&|\, -20 \\ 7y -6x -20 &= 0\end{aligned}$$jetzt aus der ersten Nebenbedingung das \(x\) isolieren$$\begin{aligned} x + 3y &= 30 &&|\, -3y \\ x &= 30 - 3y\end{aligned}$$und dieses \(x\) in die letzte Gleichung mit \(x\) und \(y\) einsetzen$$\begin{aligned} 7y -6x -20 &= 0 \\ 7y -6(30 - 3y) -20 &= 0 \\ 7y - 180 + 18y - 20 &= 0 \\ 25 y - 200 &= 0 &&|\, +200 \\ 25 y &= 200 &&|\, \div 25 \\ y &= 8\end{aligned}$$Tipp: übe mehr Algebra. Jemand der solche Aufgaben rechnet, sollte bei solch einfachen Umformungen längst fit sein ;-)

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Werner mein Schatz ich küss deine Augen du bist der beste. Ich bin dir sowas von dankbar hab einen schönen angenehmen Tag. Das hat mich Nächte umschlungen.

Ende- Gut alles Gut

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... bin am verzweifeln

falls Du da grundsätzliche Schwierigkeiten hast, kannst Du auch den Gaußschen-Algorithmus bemühen. Aus den Ableitungen $$2x + \lambda_1= 0 \\ 6y + 3 \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ 4z + 2\lambda_2 = 0$$und den Nebenbedingungen $$x + 3y = 30 \\ y + 2z = 20 $$wird$$\begin{aligned} \lambda_1 + 0\lambda_2 + 2x + 0y +0z &= 0\\ 3\lambda_1 + \lambda_2 + 0x + 6y +0z &= 0 \\ 2\lambda_2 + 0x + 0y +4z &= 0\\ x + 3y + 0z &= 30 \\ y + 2z &= 20\end{aligned}$$das ist ein Lineares Gleichungssystem mit den Koeffizienten $$\begin{array}{ccccc|c}1& 0& 2& 0& 0& 0\\ 3& 1& 0& 6& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 4& 0\\ 0& 0& 1& 3& 0& 30\\ 0& 0& 0& 1& 2& 20\end{array}$$den Algorithmus braucht man dann nur so weit zu treiben, bis unten rechts die 3x3-Einheitsmatrix stehen bleibt$$\begin{array}{ccccc|c}1& 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 1& -6& 6& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 1& 0& 8\\ 0& 0& 0& 0& 1& 6\end{array}$$die letzten drei Werte unten rechts sind dann das Ergebnis für \(x\), \(y\) und \(z\).

Geht natürlich nur bei linearen Gleichungssystemen!

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Alles klar Werner nur wie kommt auf den Unteren Teil der Gauß Algorithmus also nicht auf die 6,8,6 sondern die anderen Zahlen

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Alles klar Werner nur wie kommt auf den Unteren Teil der Gauß Algorithmus also nicht auf die 6,8,6 sondern die anderen Zahlen

Dafür hatte ich Dir oben den Link gesetzt: Gaußschen-Algorithmus

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Ich bekomme sehr komische Werte heraus hab als erstes so eingegeben, hoffe ist richtig

dann bekomme ich aber, dass da heraus

Text erkannt:

Dos grlSsit LQS
I 0

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.. das stimmt. Bei mir kommt auch keine vernünftige Lösung heraus. Ich informiere den Betreiber der Seite.

Du kannst es inzwischen hier versuchen:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

dort funktioniert Dein Datensatz:

1 0 2 0 0 0
3 1 0 6 0 0
0 2 0 0 4 0
0 0 1 3 0 30
0 0 0 1 2 20

den kannst Du so in das Fenster kopieren.

Ansonsten versuche es bitte mal selber "zu Fuß", oder auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm, wenn Du die Möglichkeit hast.

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Werner der Alltag macht einen unsicher, aber danke dir mein lieber

Answer 2

Ich nehme an, das soll eine Lagrange-Übungsaufgabe sein.

Wenn du es geometrisch verstehen willst:

Von allen Ellipsoiden der Form x² + 3y² + 2z²=c gibt es ein kleinstes, das mit der Schnittgeraden noch einen Berührungspunkt gemeinsam hat. Für größere c schneiden die Gerade das Ellipsoid.

Comments

Ja, das ist Lagrange-Übungsaufgabe. sollte ich zuerst die schnitt geraden der beiden  Ebenen berechnen?